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Bemerkungen über Variationsrechnung, implizite Funktionen und Lagrangesche Multiplikatoren. (German) Zbl 0077.30403
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Caratheodory, C.: Variationsrechnung, insbes. S. 190ff. Leipzig u. Berlin 1935.
[2] Vgl. z. B.C. Bólza: Vorlesungen über Variationsrechnung, S. 160ff. Leipzig u. Berlin 1909.
[3] Vgl. z.B. Ljusternik-Sobolev: Elemente der Funktionalaysis (deutsche Übersetzung), insbes. Kap. VI. Berlin 1955.
[4] Wir wählen ?(t, x)?=max(?t?, ?x?).
[5] Dann ist nach einem bekannten Satz vonS. Banach auchF x(t0, x0)?1 (linear und) stetig.
[6] Hildebrandt, T. H., andI. M. Graves: Implizit functions and their differentials in general analysis. Trans. Amer. Math. Soc.29, 127-153 (1927).?Vgl. auch die Darstellung (ohne Zitat) inLusternik-Sobolev, l. c. Fußnote 3, Elemente der Funktionalaysis (deutsche Übersetzung), insbes. Kap. VI. Berlin 1955. S. 222ff. Die dort gegebenen Sätze beziehen sich auf Punktausartung von 255-1, liefern aber auch dann nicht den schärferen Inhalt unseres Satzes, wohl aber mit einer geläufigen Umformung umgekehrt. Beim Satze vonLusternik-Sobolev, S. 222 muß offenbar die Voraussetzung der Stetigkeit von ?(x, y) ergäntz werden. Ein Teilresultat in unserer Richtung in bezug auf Funktionensysteme wird beiJ. Hadamard, Lecons du calcul des variations, I, Paris 1910, S. 497, Anmerkung 2, erwähnt. · doi:10.1090/S0002-9947-1927-1501380-6
[7] Vgl. dazu auch die Bemerkung 2 vonC. Caratheodory, l. c. Variationschnung, insbes, S. 51. Leipzig u. Berlin 1935.
[8] Für die erste Variation benötigt man natürlich die zweiten Ableitungen nicht.
[9] Unser Satz dürfte eine gewisse Ergänzung geben zu den Bestrebungen bei der Behandlung der Lagrangeschen Multiplikatoren, wie sie insbesondereH. Hahn, Monatsh. f. Math.14, 325-342 (1903);17, 295-304 (1906), verfolgt hat. · JFM 34.0401.01 · doi:10.1007/BF01706879
[10] Das ist ? vgl. die Definition vonG?(a) ?1 ? keine triviale Umformung.
[11] Es ist also speziellG(a)=0, d. h.M(t1 a1(t),... an(t))?0.
[12] Das heißtA bilde \(\mathfrak{B}_1\) und \(\mathfrak{B}_2\) eineindeutig aufeinander ab, so daß nachS. Banach auchA ?1 linear und stetig ist.
[13] Entsprechendes können wir als Definition der Kompaktheit wählen.
[14] Damit erhält man in gewohnter Weise auch Aussagen über höhere Ableitungen von ?, falls solche fürF gegeben sind.
[15] Dabei wird die Stetigkeit der zweiten Ableitungen benutzt.
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