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Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs. (French) Zbl 0083.03403
Sei \(V\) ein Vektorraum endlicher Dimension über einem endlich algebraischen Zahlkörper \(k\) und \(G\) eine algebraische Gruppe von Automorphismen von \(V\). Mit \(\mathfrak i\) sei die Hauptordnung von \(k\) bezeichnet. Für jedes Primideal \(\mathfrak p\) von \(k\) bilden wir die \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterungen \(k^{\mathfrak p}\), \(\mathfrak i^{\mathfrak p}\), \(V^{\mathfrak p} = k^{\mathfrak p}V\). Unter einem Gitter in \(V\) bzw. \(V^{\mathfrak p}\) verstehen wir einen endlich erzeugbaren \(\mathfrak i\)-Modul \(\mathfrak I\) bzw. \(\mathfrak i^{\mathfrak p}\)-Modul \(\mathfrak I^{\mathfrak p}\) von maximaler Dimension. Mit \(G^{\mathfrak p}\) wird die kleinste \(G\) enthaltende algebraische Gruppe von Automorphismen von \(V^{\mathfrak p}\) bezeichnet. Ist ein Gitter \(\mathfrak I^{\mathfrak p}\subset V^{\mathfrak p}\) gegeben, so bilden die \(\gamma^{\mathfrak p}\in G^{\mathfrak p}\) mit \(\gamma^{\mathfrak p}\mathfrak I^{\mathfrak p} = \mathfrak I^{\mathfrak p}\) eine Untergruppe \(U^{\mathfrak p}\subseteq G^{\mathfrak p}\), die Einheitengruppe von \(\mathfrak I^{\mathfrak p}\).
Zwei Gitter \(\mathfrak I, \mathfrak K\subset V\) heißen äquivalent, wenn \(\mathfrak K = \gamma\mathfrak I\) mit einem \(\gamma\in G\) gilt; sie heißen verwandt, wenn für alle \(\mathfrak p\) ein \(\gamma^{\mathfrak p}\in G^{\mathfrak p}\) existiert, so daß \(\mathfrak K^{\mathfrak p} = \gamma^{\mathfrak p} \mathfrak I^{\mathfrak p}\) ist. Dabei sind für fast alle \(\mathfrak p\) die \(\gamma^{\mathfrak p}\) Einheiten von \(\mathfrak I^{\mathfrak p}\). Äquivalente Gitter werden zu Klassen, verwandte zu Geschlechtern vereinigt. Der Hauptsatz der Arbeit lautet:
Wenn \(G\) kommutativ ist, so besteht jedes Geschlecht aus nur endlich vielen Klassen.
Dieser bemerkenswerte Satz umfaßt als Spezialfall die Aussage, daß die Idealklassenzahl eines algebraischen Zahlkörpers endlich ist, welche hier allerdings nicht erneut bewiesen, vielmehr zum Beweis des allgemeinen Satzes herangezogen wird. Ist \(G\) die orthogonale Gruppe bez. einer quadratischen Form (also nicht mehr kommutativ), so besagt der Satz, daß ein Geschlecht quadratischer Formen aus nur endlich vielen Klassen besteht.

MSC:
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
14L35 Classical groups (algebro-geometric aspects)
11E57 Classical groups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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