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Abschätzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie. 2. völlig neu bearb. Aufl. (German) Zbl 0083.03601

Enzyklopädie Math. Wiss. Band. I, 2. Teil, Heft 13, Art. 29. Leipzig: B. G. Teubner Verlag. 123 S. (1959).
Das vorliegende Heft gibt nicht nur im Rahmen der Enzyklopädie einen bedeutsamen Beitrag, sondern stellt auch für sich allein genommen eine wesentliche Bereicherung der mathematischen Literatur dar, und dies um so mehr, als hier der Stoff von einem ausgesprochenen Kenner dargelegt wird, der selbst mit zahlreichen eigenen Arbeiten am Aufbau dieses mathematischen Zweiges beteiligt ist.
Die Abschätzung von Exponentialsummen (trigonometrischen Summen) stellt heute einen integrierenden Bestandteil bei der Untersuchung des Goldbachschen und Waringschen Problems dar.
Inhaltsübersicht:
A. Elementare Methoden. Behandelt werden u. a. der Linniksche Beweis des Waringproblems, die Siebmethode und der Schnirelmannsche Beitrag zum Goldbachproblem, der elementare Beweis des Primzahlsatzes (A. Selberg).
B. Abschätzung von Exponentialsummen. Beginnend mit den Methoden von Weyl und van der Corput nimmt der Vinogradovsche Mittelwertsatz eine zentrale Stellung ein. Es werden Folgerungen aus diesem Satz gezogen; die Diskussion der Exponentialsummen wird weitergefiihrt.
C. Primzahlverteilung. Hier werden die analytischen Methoden der Primzahltheorie besprochen; über zahlreiche Einzelergebnisse wird berichtet.
D. Das Waringsche Problem. Es wird die analytische Behandlungsweise dargelegt; die Abschätzungen der beiden Basisordnungen \(g(k)\) und \(G(k)\) werden besprochen sowie einige Verallgemeinerungen des Waringproblems angegeben. Schließlich wird noch der Tarry-Escottsche Fragenkreis angeschnitten.
E. Das Goldbachsehe Problem. In diesem Kapitel werden der Vinogradovsche Satz nebst Verallgemeinerungen, das klassische Goldbachproblem bezüglich der geraden Zahlen, das Goldbach-Waring-Problem und eine Übertragung des Tarry-Escott-Problems behandelt.
F. Gleichverteilung und G. Weitere zahlentheoretische Funktionen bilden den Inhalt der letzten beiden Kapitel.
Am Schluß findet sich in Tabellenform eine Übersicht über die behandelten Probleme mit Angabe der neuesten Ergebnisse.
Reviewer: H. Ostmann

MSC:

11L07 Estimates on exponential sums
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11N05 Distribution of primes
11N35 Sieves
11P05 Waring’s problem and variants
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
11J71 Distribution modulo one
11D72 Diophantine equations in many variables