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Some groups of transformations defined by Jordan algebras. I. (English) Zbl 0084.03601
Es sei \(\mathfrak A\) eine potenz-assoziative \((p.-a.)\) Algebra mit Einselement 1 von endlicher Dimension über dem Grundkörper \(\Phi\). Es wird vorausgesetzt, daß \(\mathfrak A\) streng p.-a. ist, d.h. für jeden Oberkörper \(P\) von \(\Phi\) ist \(\mathfrak A_P\), p.-a. Ist \((u_1, \ldots, u_n)\) eine Basis von \(\mathfrak A\) über \(\Phi\) und sind \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) unabhängige Unbestimmte, deren Adjunktion zu \(\Phi\) einen Körper \(P =\Phi (\xi)\) ergibt, so heißt das Element \(x =\sum\xi_iu_i\) von \(\mathfrak A_P\), ein allgemeines Element von \(\mathfrak A\). Das Minimalpolynom von \(x\) über \(P\) \[ m_x(\lambda)\equiv \lambda^m -\sigma_1(\xi)\lambda^{m-1}+ \ldots +(-1^m) \sigma_m (\xi) \] heißt (wie im assoziativen Fall) Minimalpolynom von \(\mathfrak A\). Dabei ist \(\sigma_i(\xi)\) eine Form vom Grad \(i\) in den \(\xi_j\). Die Diskriminante \(\delta(x)\) von \(m_x(\lambda)\) ist die Diskriminante von \(\mathfrak A\), und \(\mathfrak A\) heißt unverzweigt, wenn \(\delta(x)\neq 0\). Genau dann ist \(\mathfrak A\) unverzweigt, wenn eine Grundkörpererweiterung \(\mathfrak A_\Omega\) existiert, die ein System von \(m\) (größtmögliche, Anzahl) nichtverschwindenden orthogonalen Idempotenten enthält.
Anschließend betrachtet Verf. die Minimalpolynome insbesondere für zentrale einfache Jordan-Algebren \(\mathfrak A\) (Charakteristik \(\mathrm{char}\,\Phi\neq 2)\), die bekanntlich streng p.-a. sind; sie sind überdies unverzweigt, und für die Spur \(S(x)=\sigma_1(\xi)\) gilt \((a,b\in\mathfrak A)\): \(S(a,b)\equiv S(ab)\) ist eine symmetrische, assoziative, nicht-entartete Bilinearform. Verf. interessiert sich für die Automorphismengruppe \(G(\mathfrak A)\) von \(\mathfrak A\) über \(\Phi\), sowie für die Gruppe \(L(\mathfrak A)\) der umkehrbaren linearen Abbildungen (u.l.A.) \(\eta: a\to a^\eta\) von \(\mathfrak A\) auf \(\mathfrak A\) mit \(N(a^\eta)=N(a)\) für alle \(a\in\mathfrak A\) \((N(x)\equiv \sigma_m(\xi)\) Norm von \(x)\). Durch \(G(\mathfrak A)\) ist der Typus von \(\mathfrak A\) bis auf einige Ausnahmen bestimmt. Da \(G(\mathfrak A)\) mit \(L(\mathfrak A)\) in Zusammenhang gebracht werden kann, ergeben sich Aussagen über die Struktur jeder dieser beiden Gruppen. Eine Funktion \(f(a, b, \ldots, k)\) (mit Werten in \(\Phi\)) heißt invariant bezüglich einer u.l.A. \(\eta\) von \(\mathfrak A\) auf \(\mathfrak A\), wenn \(f(a^\eta, b^\eta,\ldots, k^\eta) = f(a, b, \ldots, k)\) für alle \(a, b, \ldots, k\in\mathfrak A\). Vorausgesetzt, daß 1. \(\mathrm{char}\,\Phi\) \((\neq 2\) und) \(\neq 3\) ist, gilt:
Eine u.l.A. \(\eta\) von \(\mathfrak A\) auf \(\mathfrak A\) gehört genau dann zu \(G(\mathfrak A)\), wenn \(S(a,b)\) und \(S(a,b,c)\equiv S(ab, c)\) \((= S(a,bc))\) invariant bezüglich \(\eta\) sind; hat \(\Phi\) außerdem 2. wenigstens \(m\) verschiedene Elemente, so ist \(\eta\in G(\mathfrak A)\) genau dann, wenn \(1^\eta = 1\) und \(N(a^\eta) = N (a)\), für alle \(a\in\mathfrak A\). (Dies zeigt, wie wichtig das Studium der Norm einer Algebra ist.)
Ist \(\mathfrak E\) eine zentrale einfache assoziative Algebra und \(\mathrm{char}\,\Phi\neq 2\) und ist \(\mathfrak A\) die zu \(\mathfrak E\) gehörige spezielle Jordan-Algebra \(\mathfrak E^*\) mit der Multiplikation \(ab =\frac 12 (a\cdot b + b\cdot a)_t\) wo \(a\cdot b\) in \(\mathfrak E\) gebildet ist, so wird \(m_x (\lambda)\) in \(\mathfrak E^*\) identisch mit \(m_x (\lambda)\) in \(\mathfrak E\). Da man \(G(\mathfrak E^*)\) kennt (nach Ancochea, Hua, Kaplansky ist diese Gruppe gleich der Gruppe aller Automorphismen und Antiautomorphismen von \(\mathfrak E\) über \(\Phi\)), so besteht \(L(\mathfrak E^*)\) (unter den Voraussetzungen 1. und 2.) aus den u.l.A. \(a\to u\cdot a^\sigma\cdot v\), wo \(\sigma = 1\) oder \(\sigma\) ein fester Antiautomorphismus von \(\mathfrak E\) ist und \(N(u\cdot v) = 1\) \((u, v\in\mathfrak E)\).
Dieser Satz ist unter etwas anderen Voraussetzungen im Fall \(\mathfrak E= \Phi_m\) (Ring aller \(m\times m\)-Matrizen über \(\Phi\)) bekannt; Verf. schreibt ihn zwar J. Dieudonné zu [Arch. Math. 1, 282–287 (1949; Zbl 0032.10601)], in Wirklichkeit wurde über dem Körper der komplexen Zahlen \(\Phi\) ein damit (auf Grund des Hilbertschen Nullstellensatzes und der Irreduzibilität der allgemeinen Determinante) äquivalenter Satz über Determinanten mit unbestimmten Elementen bereits von G. Frobenius [S.-B. Preuß. Akad, Wiss. Berlin, Phys.-Math. Kl. 1897, 994–1015 (1897; JFM 28.0130.01)] aufgestellt. Auf diesen Frobeniusschen Satz aufbauend (Zerfällungskörper-Methode), sowie auf einem zweiten Weg (ringtheoretische Methode), der ein Resultat von Kaplansky zum Ausgangspunkt hat, konnte Ref. in einer bei den Math. Nachr. bereits vor Veröffentlichung der hier besprochenen Ergebnisse des Verf. eingereichten und demnächst erscheinenden Arbeit allgemeiner und anders als Verf. die Semi-Automorphismen einer beliebigen separabel-halbeinfachen Algebra \(\mathfrak E\) endlicher Dimension über einem beliebigen Grundkörper \(\Phi\) ausnahmslos so charakterisieren:
Sie sind identisch mit den u.l.A. \(\zeta\) von \(\mathfrak E\) auf \(\mathfrak E\), für welche \(1^\zeta = 1\) ist und für deren Fortsetzungen zu u.l.A. von \(\mathfrak E_P\) auf \(\mathfrak E_P\) \((P = \Phi(\xi))\) die Gleichung \(N(x^\zeta) = N(x)\) gilt (,,zulässige Automorphismen der Normenform”).
(Die Arbeit des Ref. hat eine von der des Verf. verschiedene Zielsetzung.)
Schließlich bringt Verf. die Lieschen Algebren der algebraischen Gruppen \(G(\mathfrak A)\), \(L(\mathfrak A)\) (Chevalley) zur Lieschen Algebra \(G(\mathfrak A)\) der Derivationen von \(\mathfrak A\) in Beziehung \((\mathrm{char}\,\Phi=0)\).
Reviewer: H.-J. Hoehnke

MSC:
17C10 Structure theory for Jordan algebras
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Full Text: DOI Crelle EuDML