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The structure of prime rings under ascending chain conditions. (English) Zbl 0084.03705

Verf. beweist: Ein Ring \(B\) besitzt dann und nur dann einen Rechts- und Linksquotientenring, der isomorph zu einem vollen Matrixring \(D_n\) über einem Schiefkörper \(D\) ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
I. \(B\) ist ein Primring (d. h. für je zwei von Null verschiedene Ideale \(A\) und \(B\) gilt \(AB\neq 0\)).
II. Jede aufsteigende Kette von rechts- oder von linksseitigen Annulatoridealen hat endliche Länge.
III. Jede direkte Summe von 0 verschiedener Rechts- oder Linksideale hat nur endlich viele Summanden.
Die Reihenzahl \(n\) der Matrizen aus \(D_n\) hängt mit der Idealtheorie in \(R\) folgendermaßen zusammen: Ein echtes Rechtsideal heißt einförmig, wenn jedes Paar darin echt enthaltener Ideale einen von 0 verschiedenen Durchschnitt besitzt. Unter den einförmigen Rechtsidealen gibt es maximale, die sog. Basis-Rechtsideale. (Diese fallen mit den minimalen rechtsseitigen Annulatoridealen zusammen.) Die Zahl \(n\) ist die maximale Anzahl von Summanden in einer direkten Summe von Basis-Rechtsidealen. Auf die gleiche Zahl wird man geführt, wenn man von Linksidealen ausgeht.

MSC:

16N60 Prime and semiprime associative rings
16P70 Chain conditions on other classes of submodules, ideals, subrings, etc.; coherence (associative rings and algebras)
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