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Linear operators. I. General theory. (With the assistence of William G. Bade and Robert G. Bartle). (English) Zbl 0084.10402
Pure and Applied Mathematics. Vol. 7. New York and London: Interscience Publishers. xiv, 858 p. (1958).
Verff. haben sich das Ziel gesetzt, eine ausführliche Darstellung der allgemeinen Theorie der linearen Operatoren samt ihren Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Analysis zu geben. Obwohl nur der erste der geplanten zwei Bände bisher erschienen ist, kann schon festgestellt werden, daß die Verff. ein außerordentlich großes und wertvolles Werk geschaffen haben, das sich besonders durch seine monumentale Vollständigkeit, klare Struktur und anziehende Darstellungsweise auszeichnet. Der vorliegende erste Band eignet sich ebensogut zu einem Lehrbuch, zum Selbststudium wie zu einem Nachschlagewerk, er bietet reichliches Material für eine ganze Reihe von Spezialvorlesungen und Seminare. Neben dem streng nach logischen Zusammenhängen aufgebauten Haupttext findet man am Ende jedes Kapitels ,,Notizen und Bemerkungen”, die ausführliche, lehrreiche, historische und Literaturangaben enthalten und auch auf weitere, mit der behandelten Theorie in Zusammenhang stehende Resultate hinweisen, und zwar oft mit vollständig ausgeführten Beweisen. Ungefähr insgesamt 1000 ,,Aufgaben”, teils mit Lösungshinweisen, ergänzen den Text mit einer Fülle von weiteren, meistens auch in sich interessanten Ergebnissen.
Kap. I bringt in gedrängter Form, aber klar und vollständig dargestellt, diejenigen Ergebnisse aus der Mengenlehre, Topologie und Algebra, die später im Buch gebraucht werden (z. B. Zorns Lemma, Baires Kategoriesatz, Urysohns Metrisationssatz, Tychonoffs Satz über kartesische Produkte, Stones Darstellungssatz für Boolesche Ringe usw.). Kap. II behandelt die drei ,,fundamentalen Prinzipien” der Linearen Analysis, nämlich den Satz der ,,gleichmäßigen Beschränktheit”, die ,,open mapping” und ,,closed graph”-Sätze, sowie den Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz. Die zugrunde gelegten linearen Räume sind metrisch und vollständig (sog. \(F\)-Räume), insbesondere \(B\)-(Banach-) Räume. Unter den beigefügten Aufgaben findet man die Konstruktion der Banach-Limites und eine Reihe von 24 Aufgaben aus der Summationstheorie. Kap. III enthält eine Integrationstheorie von vektorwertigen Funktionen in bezug auf eine reell- oder komplexwertige Mengenfunktion. Man betrachtet zuerst eine endlich-additive Mengenfunktion \(\mu(E)\), die auf einem Mengenkörper \(\Sigma\) von Mengen \(E\subset S\) definiert ist, und man führt für jede Funktion \(f(s)\) \((s\in S)\) mit Werten aus einem \(B\)-Raum \(\mathfrak X\) die ,,Norm” \[ |f| = \inf_{\alpha>0} \arctan \{\alpha+\nu_\mu^* (s: \| f(s)\|_{\mathfrak X}\geq \alpha)\} \] ein, wobei \(\nu_\mu^*(E)\) das durch die Totalvariationsfunktion \(\nu_\mu(E)\) von \(\nu(E)\) erzeugte äußere Maß bedeutet; f heißt eine Nullfunktion, falls \(| f| = 0\). Die modulo den Nullfunktionen betrachteten Funktionen \(f: S\to \mathfrak X\) bilden einen metrischen Raum mit der Metrik \(| f_1-f_2|\), die Konvergenz in dieser Metrik heißt ,,Konvergenz im \(\mu\)-Maß”. Eine Funktion \(f\) heißt \(\mu\)-meßbar, falls sie Grenzwert im \(\mu\)-Maß einer Folge \(f_n\) von ,,Treppenfunktionen” ist. Gilt noch \[ \lim_{m,n} \int_S \| f_n(s) - f_m(s)\|_{\mathfrak X} \nu_\mu (ds) = 0, \] so heißt \(f\) integrierbar, mit dem Integral \(\int_S f(s) \mu(ds) = \lim \int_S f_n(s) \mu(ds)\). Es folgt eine Diskussion der \(L_p\)-Räume für die endlich-additive Mengenfunktion \(\mu(E)\). Erst danach werden abzählbar-additive Mengenfunktionen eingeführt und die Grundtatsachen der Lebesguesschen Integrationstheorie gewonnen. Es folgt eine Untersuchung der Räume von Mengenfunktionen; eine zentrale Bedeutung kommt dabei dem Satz von Vitali-Hahn-Saks zu. Der Radon-Nikodymsche Satz, das kartesische Produkt von endlich oder unendlich vielen Maßen, sowie die Differentiation in bezug auf Borelsche Mengenfunktionen in \(E_n\) sind sorgfältig behandelt. Kapitel IV enthält eine eingehende Untersuchung verschiedener spezieller linearer Räume (Folgenräume, Funktionenräume, Maßräume), insbesondere der Räume \(l_p\), \(L_{p'}\), \(C\). Es werden Probleme folgender Art untersucht:
Wie kann der konjugierte Raum \(\mathfrak X^*\) analytisch dargestellt werden? Wann ist eine Folge \(x_n\in \mathfrak X\) schwach-konvergent (,,in sich”, oder zu einem bestimmten Grenzelement)? Ist \(\mathfrak X\) schwach vollständig? Ist \(\mathfrak X\) reflexiv? Welche Untermengen von \(\mathfrak X\) sind schwach sequentiell-kompakt, oder kompakt in der metrischen Topologie von \(\mathfrak X\)? Im Falle, daß \(\mathfrak X = \mathfrak Y^*\), welche Folgen \(x_n\in \mathfrak X\) sind \(\mathfrak Y\)-konvergent (d. h. derart, daß \(\lim(x_n, y)\) existiert für jedes \(y\in \mathfrak Y\))? Die zahlreichen diesbezüglichen Ergebnisse, die bisher in der Lieratur zerstreut waren, werden hier teils im Haupttext, teils als Aufgaben zusammengestellt; eine 6-seitige Tafel erleichtert den Überblick dieser Ergebnisse. Es folgt eine Theorie der vektorwertigen Mengenfunktionen und der Integration skalarer Funktionen in bezug auf derartige Mengenfunktionen. Die ,,Notizen und Bemerkungen” enthalten u. a. eine kurze Besprechung des Gauß-Wienerschen Integrals.
Kap. V (,,Konvexe Mengen und schwache Topologie”) behandelt tiefliegende Sätze über schwache Topologien, ihre Zusammenhänge mit Kompaktheits-, Reflexivitäts- und Metrisationseigenschaften des betreffenden linearen topologischen Raumes, den Krein-Milmanschen Satz über extremale Punkte konvexer Mengen, Fixpunktsätze; in den ,,Notizen und Bemerkungen” findet man u. a. einen einfachen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes.
Kap. VI führt ein in die allgemeine Theorie der beschränkten linearen Operatoren eines \(B\)-Raumes \(\mathfrak X\) in einen B-Raum \(\mathfrak Y\). Kompakte (vollstetige) und schwach-kompakte Operatoren, Operatoren mit abgeschlossenem Wertebereich werden eingehend untersucht. Für Operatoren von gewissen Typen, insbesondere wenn \(\mathfrak X\) oder \(\mathfrak Y\) ein Raum \(C(S)\) mit kompaktem \(S\) oder ein Raum \(L_p\) ist, werden analytische Darstellungen gewonnen. Eine 9-seitige Tafel stellt die diesbezüglichen Literaturangaben zusammen. Der Konvexitätssatz von M. Riesz wird auch bewiesen, und zwar mit der Methode von Thorin. Die vielfache Anwendbarkeit der Konvexitätsmethode wird an einer Reihe von wichtigen Ungleichungen der Analysis illustriert, die als Aufgaben gestellt sind.
Kap. VII behandelt die allgemeine Spektraltheorie der linearen Operatoren eines \(B\)-Raumes, die auf der Konturintegration der Resolvente beruht. (Methode von F. Riesz, 1913, weiter entwickelt später insbesondere durch Gelfand und Dunford, und auf unbeschränkte abgeschlossene Operatoren ausgedehnt durch A. E. Taylor.) Die Rieszsche Theorie der kompakten Operatoren, Störungssätze und gewisse Sätze Tauberscher Art werden mit Hilfe dieser Spektraltheorie bewiesen. Die Fredholmsche Alternative wird aber nur in den ,,Notizen” erwähnt.
Kap. VIII bietet eine schöne Darstellung der Hauptresultate der Hille-Phillips-Yosidaschen Theorie der einparametrigen Halbgruppen von Operatoren, und es folgt dann (auf 77 Seiten) eine lehrreiche, moderne Einleitung in die Ergodentheorie: Mittel- und punktweise Konvergenz, ein- und mehrparametriger Fall, endlich die ,,gleichmäßige Ergodentheorie” von Kakutani und Yosida.
Der Band schließt mit einem Literaturverzeichnis (auf 126 Seiten), und je einem Zeichen-, Autor- und Sachverzeichnis.
Der zweite Band dieses großangelegten Werkes soll u. a. die Spektraltheorie der normalen Operatoren im Hilbertschen Raum, die Dunfordschen ,,spektralen Operatoren” in einem \(B\)-Raum, und Anwendungen auf Differentialgleichungen betrachten (vgl. das Referat dazu im Zbl 0128.34803 sowie zu Teil III im Zbl 0243.47001).

MSC:
47-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory
47Axx General theory of linear operators