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The \(p\)-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem. (English) Zbl 0085.03501

Entsprechend dem von K. F. Roth [Mathematika 2, 1–20 (1955; Zbl 0064.28501)] erzielten großen Fortschritt über den Thue-Siegelschen Satz wird hier eine von K. Mahler [Math. Ann. 107, 691–730 (1933; Zbl 0006.10502; JFM 59.0220.01)] gegebene \(p\)-adische Verallgemeinerung dieses Satzes verschärft, indem der Siegelsche Exponent im Mahlerschen Satz (Satz 1 seiner Arbeit) durch den Rothschen ersetzt wird. Dieser Hauptsatz des Verf. (Theorem 1) lautet:
„Die Gleichung \(a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0\) mit ganzen rationalen Koeffizienten und \(n\ge 2\) besitze im Körper der reellen Zahlen eine Wurzel \(\zeta\), im Körper der \(p_1\)-adischen Zahlen eine Wurzel \(\zeta_1\), …, im Körper der \(p_i\)-adischen Zahlen eine Wurzel \(\zeta_t\), wobei \(p_1, p_2,\ldots, p_t\) voneinander verschiedene Primzahlen bedeuten. Dann hat die Ungleichung \[ \min (1, \vert\zeta - h/q\vert) \prod_{\tau = 1}^t \min (1, \vert h - q\zeta_\tau\vert_{p_\tau} \le \max (\vert h\vert, \vert q\vert)^{-\kappa} \] höchstens endlich viele Lösungen in ganzen rationalen \(h\), \(q\) mit \((h, q) = 1\), wenn \(\kappa > 2\) ist“.
Daraus folgt, wie bei Mahler, eine entsprechende Verschärfung seines Satzes 2 (über irreduzible binäre Formen vom mindestens 3. Grad), welche überdies dem Theorem 1 fast äquivalent ist. Beim Beweise vom Theorem 1 schließt sich Verf. eng an die Rothsche Arbeit an, indem er die dortigen Hilfssätze auf den vorliegenden Fall mit sinngemäßen Modifikationen überträgt.
Reviewer: Orhan Ş. İçen

MSC:

11J68 Approximation to algebraic numbers
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
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