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Solution of some binary additive problems by computing dispersion in progressions. (Russian) Zbl 0086.26001

Die Methode der Berechnung von ,,Dispersionen in arithmetischen Reihen” (man vgl. das vorstehende Referat [Zbl 0086.25905] und [Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 3, 225–258 (1959; Zbl 0103.02804)]) wird hier vom Verf. auf die Gleichung \(n = p_1p_2 + \xi^2 + \eta^2\) angewendet. Er erhält folgenden Satz:
Sei \(\alpha > 0\) eine genügend kleine Zahl; \(N_1= n^{1-\alpha}\), \(N_2=n^\alpha\); \(p_1\) bzw. \(p_2\) durchlaufe die Primzahlen \(\le N_1\) bzw. \(N_2\); \(\xi^2 + \eta^2\) durchlaufe quadratfreie Zahlen. Dann gilt für die Lösungszahl \(H(n)\) der obigen Gleichung \[ H(n) = \mathrm{Li}(N_1) \cdot \mathrm{Li}(N_2) \cdot A(n) + O(N_1 N_2/(\log n)^c, \] mit beliebig großem \(c\), wobei \(A(n)\) ein etwas komplizierter arithmetischer Faktor ist.
Der Satz wird aus folgendem Lemma gefolgert: Sei \(U(m)\) die Lösungszahl von \(m = \xi^2 + \eta^2\). Dann gilt \[ \sum_D \left\{\sum_m U(m) - A(n,D)\right\}^2 \le D_2 N_2^2((\log n)^c, \]
wobei die äußere Summe über \(D_1 - D_2 \le D\le D_1\), \(D_1 = n^{1- \alpha}\), \(D_2 = n^{1-\alpha-\delta}\) \((\delta\) kleine Konstante) läuft, die innere Summe über die quadratfreien \(m\le n\) mit \(m = n - D\nu\), \(\nu\) Primzahl \(\le n^\alpha\) und \(A(n, D) = \mathrm{Li}\, N_2\) mal einem komplizierteren arithmetischen Faktor die ,,zu erwartende Größenordnung” der inneren Summe bedeutet. Der offenbar sehr komplizierte Beweis wird nur skizziert. Es wird noch angegeben, daß die Methode auch für die Gleichung \(n = N(\mathfrak a) + Q(\xi,\eta)\) anwendbar ist, wobei \(N(\mathfrak a)\) die Norm eines Ideals einer vorgegebenen Idealklasse eines nicht notwendig abelschen Zahlkörpers (vgl. vorstehendes Referat [Zbl 0086.25905]) und \(Q\) eine ganzzahlige quadratische Form bedeutet, und daß man auch die Gleichung \(n = p + \xi^2 + \eta^2\)mit dieser Methode behandeln kann.

MSC:

11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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