Ramanujan. Twelve lectures on subjects suggested by his life and work. Reprint. (English) Zbl 0086.26202

Hardy, G. H.

New York: Chelsea Publishing Company. 236 p. (1959).

Da die erste Ausgabe dieser Vorlesungen in diesem Zbl 0025.10505 nur mit dem Titel angeführt wurde, soll hier eine kurze Übersicht über die 12 Kapitel des Werkes gegeben werden.
I. The Indian mathematician Ramanujan.
II. Ramanujan and the theory of prime numbers.
III. Round numbers (enthält den bekannten Satz von Hardy-Ramanujan, daß fast alle natürlichen Zahlen \(n\log\log n\) Primfaktoren haben). Es wird sowohl der ursprüngliche Beweis, wie jener von Turán gegeben.
IV. Some more problems of the analytic theory of numbers. (Ch. II und IV geben eine ausgezeichnete Einführung in den analytischen Beweis des Primzahlsatzes.)
V. A lattice point problem. (Ist \(N(\eta)=N(\eta,\omega,\omega')\) die Anzahl der ganzzahligen Lösungen \(u,v\) von \(u\geq 0\), \(v\geq 0\), \(\omega u+\omega' v\leq \eta\) (\(\eta,\omega,\omega'\) positiv), \(\Omega(\eta)=\eta^2/2\omega\omega'+\eta/2\omega+\eta/2\omega'\), dann ist es ein wichtiges Problem in der Theorie der diophantischen Approximationen, \(N(\eta)-\Omega(\eta)=R(\eta)\) abzuschätzen. Hier wird vor allem der Fall von Ramanujan \(\omega=\log 2\), \(\omega'=\log 3\) untersucht und in der bekannten Abschätzung von Ostrowski \(R(\eta)=O(\eta/\log \eta)\) kann in diesem Fall \(O\) durch \(o\) ersetzt werden.)
VI. Ramanujan’s work on partitions (Rogers-Ramanujans Identitäten). VII Hypergeometric series (Dougall-Ramanujans Identitäten). VIII. Asymptotic theory of partitions (Fareyzerschneidung und der Satz von Rademacher, s. [H. Rademacher, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 43, 241–254 (1937; JFM 63.0140.02, Zbl 0017.05503)].
IX. The representation of numbers as sums of squares (Fareyzerschneidung, Ramanujansche Summen und die berühmte Funktion \(\tau(n)\), die im folgenden Kapitel näher untersucht wird).
X. Ramanujan’s function \(\tau(n)\) (Heute weiß man mehr über \(\tau(n)\), vgl. F. van der Blij [Math. Student 18, 83–99 (1951; Zbl 0044.03705)]; gibt aber die beste Einführung).
XI. Definite integrals.
XII. Elliptic and modular functions (Modulargleichungen).
Die Vorlesungen zeigen nicht nur, wie befruchtend die Ideen Ramanujans waren, sie geben auch eine glänzende Einführung in viele schwer zugängliche Methoden der Zahlentheorie und Analysis, verfaßt von einem großen Meister der Wissenschaft.

Reviewer: Edmund Hlawka (Wien)

MSC:

11-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11-03	History of number theory
01A70	Biographies, obituaries, personalia, bibliographies
01A60	History of mathematics in the 20th century

Keywords:

Ramanujan; lectures; biography; prime numbers; round numbers; theorem of Hardy-Ramanujan; analytic proof of prime number theorem; lattice point problem; partitions; Rogers-Ramanujan identities; hypergeometric series; Dougall-Ramanujan identities; asymptotic theory of partitions; Farey dissection; Rademacher theorem; representation of numbers as sums of squares; Ramanujan sums; Ramanujan tau-function; definite integrals; elliptic functions; modular functions; modular equations

Citations:

Zbl 0025.10505; Zbl 0044.03705; Zbl 0017.05503; JFM 63.0140.02