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Absolut convergent series and dyadic expansions. (Absolut konvergente Reihen und dyadische Entwicklungen.) (Slovak. Russian, German summaries) Zbl 0090.04001

Es sei \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty\), \(a_n > 0\) und \(a_n > r_n = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_{n+k}\), \(n = 1, 2, \ldots\); man bezeichne ferner mit \(W\) die Menge der Zahlen \(x = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n a_n\), wo \(\varepsilon_n = 1\) oder \(\varepsilon_n = -1\), und man setze voraus, daß das Lebesguesche Maß der Menge \(W\) positiv ist. Für \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n a_n\in W\) sei \(f(n, x)\) die Anzahl der Zahlen \(+1\) in der Folge \(\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots, \varepsilon_n\). Verf. untersucht die Verteilung der Faktoren \(+1\) in der Reihe \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n a_n\).
Zuerst wird bewiesen, daß für fast alle (im Sinne des Lebesgueschen Maßes) \(x\in W\) gilt \[ \lim_{n\to\infty} \frac{f(n,x)}{n} = \frac12. \]
Mit Hilfe passend modifizierter Methoden von Hausdorff und Khintchin werden folgende schärferen Resultate bewiesen:
a) ist \(\tfrac12<\alpha < 1\), so gilt für fast alle \(x\in W\) \[f(n,x)=\tfrac12 n+ o(n^\alpha); \]
b) für fast alle \(x\in W\) ist \[f(n,x) = \tfrac12 n+ O\left(\sqrt{n\log\log n}\right).\]
Reviewer: L. Kosmák

MSC:

11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
11K55 Metric theory of other algorithms and expansions; measure and Hausdorff dimension
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References:

[1] Šalát T.: O istých priestoroch radov s bairovskou metrikou. Mat.-fyz. čas. SAV , VII, (1957), 193-206.
[2] Ostmann H. H.: Additive Zahlentheorie I. Springer-Verlag, 1956. · Zbl 0072.03101
[3] Chinčin A.: Über dyadische Brüche. Math. Zeit. 18, (1923), 109-116.
[4] Hausdorff F.: Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig 1949. · Zbl 0041.02002
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