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py publication year rv reviewer
cc MSC code ut uncontrolled term
dt document type (j: journal article; b: book; a: book article)
On maximal paths and circuits of graphs. (English) Zbl 0090.39401
Alle hier vorkommenden Graphen $G$ haben $n$ Knotenpunkte, $\nu (G)$ sei die Kantenzahl von $G$. $C_k$ sei der vollständige Graph mit $k$ Punkten. Ist der Graph jedes Punktes $\ge {1 \over 2} (n-1)$ $(n\ge 4)$, dann gibt es in $G$ einen hamiltonschen Kreis und zwei beliebige Punkte aus $G$ können durch eine offene hamiltonsche Linie verbunden werden. --- Ist $\nu(G) < {1\over 2} nl$. bzw. $>{1\over 2} (n-1)l$, so enthält $G$ einen Weg, bzw. Kreis mit mehr als $l$ Kanten. Die Schranke ist genau im Fall $n=q(l+1)$, bzw. $n=q(l-1)+1$, wie das Beispiel des Graphen zeigt, der Vereinigung von $q$ Graphen $C_{l+1}$ ist, bzw. des zusammengesetzten Graphen, der $q$ Glieder hat, von denen jedes ein $C_l$ ist. --- Ist $n\ge ({1\over 2}k+1)^3$ $(k\ge 1)$, $\nu(G) > nk-{k+1 \choose 2} = \varphi(n,k)$, so enthält $G$ einen Weg oder Kreis mit mehr als 2$k$ Kanten. Daß die Schranke für $\nu(G)$ genau ist, zeigt der Graph $G^*_k$ ($2k\le n$), der zusammengesetzt ist aus einem $C_k$, einer aus $n-k$ Punkten bestehenden Punktmenge $Q$ und allen Kanten, die Punkte aus $Q$ mit Punkten aus $C_k$ verbinden. --- Kanten heißen unabhängig, wenn sie paarweise keinen Punkt gemein haben. Ist $k$ die Höchstzahl unabhängiger Kanten in $G$, so ist $\nu(G) \le \max \left(\binom{2k+1}{2},\varphi(n,k)\right)$. Das Gleichheitszeichen ist nur möglich, wenn $G=G^*_k$ oder $G=C_{2k+1} \cup \{p_i\}$, wobei $p_i$ isolierte Punkte sind.
Reviewer: H.Künneth

MSC:
05C35Extremal problems (graph theory)
05C38Paths; cycles
05C45Eulerian and Hamiltonian graphs
Keywords:
topology
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