×

On the Lipschitz’s condition for Brownian motion. (English) Zbl 0091.13301

Eine monotone stetige Funktion \(g(t)\) in einer Umgebung der Null heißt Oberfunktion für die stetige Funktion \(f(A)\) im Punkte \(A_0\), falls \(|f(A)-f(A_0)| \leq g(|A-A_0|)\) für genügend kleines \(|A-A_0|\). Bekannt ist die Präzisierung des Gesetzes vom iterierten Logarithmus: \(\sqrt t \cdot \psi (1/t)\) ist Oberfunktion für fast alle Brownschen Pfade \(f(A)\) in \(A_0\) (\(A, A_0\) reell) genau dann, wenn \(\int^\infty {\psi(s) \over s} \cdot e^{-{1\over 2} \psi^2(s)}ds < \infty\). Die Verff. lösen nun auch vollständig das Problem des gleichmäßigen Stetigkeitsverhaltens: Eine Funktion \(\sqrt t \cdot \psi(1/t)\) ist Oberfunktion simultan in allen Punkten \(A\) des Einheitsintervalls \(0 \leq A \leq 1\) für fast alle Brownschen Pfade genau dann, wenn \(\int^\infty \psi^3(s) \cdot e^{-{1\over 2} \psi^2(s)}ds < \infty\). Das wesentliche Hilfsmittel ist das verallgemeinerte Borel-Cantelli-Lemma von K.L.Chung und P.Erdős (Zbl 0046.35203).
Reviewer: H.Dinges

MSC:

60J65 Brownian motion

Citations:

Zbl 0046.35203
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI