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Some remarks on prime factors of integers. (English) Zbl 0092.04301

Nach einer früheren Vermutung des Verf. haben bei gegebenem \(\varepsilon > 0\) fast alle natürlichen Zahlen (d. h. alle bis auf eine Menge von der asymptotischen Dichte 0) zwei Teiler \(d_1,d_2\) mit \(1 < d_2/d_1 < 1+\varepsilon\); nur ein schwächeres Resultat konnte er beweisen [Bull. Am. Math. Soc. 54, 685-692 (1948; Zbl 0032.01301)]. Hier wird nun eine ähnliche Fragestellung für Primteiler aufgegriffen, die sich als besser zugänglich erweist. Der Verf. beweist, daß bei einer gegebenen Folge von Zahlen \(\varepsilon_p > 0\) genau dann fast alle natürlichen Zahlen zwei Primfaktoren \(p\) und \(q\) mit \(1 < q/p < p^{\varepsilon_p}\) besitzen, wenn die Reihe \(\sum_p {1 \over p} \max (\varepsilon_p,1)\) divergiert. Ferner wird eine Beweisskizze für den Satz angegeben, daß die Menge der natürlichen Zahlen \(n\) mit zwei Primteilern \(p\) und \(q\) mit \(1 < q/p < p^{c/\log\log n}\) \((c > 0)\) die natürliche Dichte \(1-e^{-c}\) besitzt.
Reviewer: B.Volkmann

MSC:

11N25 Distribution of integers with specified multiplicative constraints

Keywords:

number theory

Citations:

Zbl 0032.01301
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