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Übertragung des Kreisproblems auf reell-quadratische Zahlkörper. (German) Zbl 0099.03603

Sei \(K\) ein reell-quadratischer Zahlkörper mit der Diskriminante \(d\) und \(F(x,x')\) die Anzahl aller Paare \((\mu_1,\mu_2)\) von ganzen Zahlen in \(K\) mit \(\mu_1^2+\mu_2^2<x\), \(\mu_1^{\prime 2}+\mu_2^{\prime 2}<x^\prime\), wo \(\mu^\prime\) die Konjugierte von \(\mu\) bedeute. Für das Restglied \(R(x,x^\prime)\) in der asymptotischen Darstellung \[ F(x,x')=(\frac{\pi^2}{d}xx'+R(x,x')\qquad (xx'\to\infty) \] werden zum gewöhnlichen Kreisproblem analoge Abschätzungen bewiesen, nämlich
Satz 1. Für jedes \(\delta>0\) gilt \[ R(x,x')=O\left((xx')^{2/3+\delta}\right). \] Satz 2. Es ist \[ R(x,x')\neq o\left((xx')^{1/4}\right). \] Satz 1 beweist man leicht mittels der Methode, die Siegel für derartige additive Probleme in algebraischen Zahlkörpern entwickelte. Als Beweis von Satz 2 hätte man eine Verallgemeinerung der beim Kreisproblem bekannten Schlußweisen von Hardy oder Erdő-Fuchs erwartet. Überraschenderweise präsentiert der Verf. eine neue Beweismethode, die auch einen neuen Beweis für \(R(x)\neq o(x^{1/4})\) beim Kreisproblem liefert. Verf. benutzt als erzeugende Funktion für \(R(x,x')\) eine \(K\) zugeordnete Thetareihe, die er in der Nähe ihrer singulären Mannigfaltigkeiten nach einer Methode von Hecke entwickelt. Sodann schätzt er ein Integralmittel dieser Reihe unter Verwendung der Siegelschen Fareyzerschneidung ab, woraus Satz 2 auf indirektem Wege gefolgert werden kann.
{Diese Arbeit wurde von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Georg-August-Universität zu Göttingen als Dissertation angenommen.}
Reviewer: Otto Körner

MSC:

11P05 Waring’s problem and variants
11R11 Quadratic extensions
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Erdös, P., andW. H. J. Fuchs: On a problem of additive number theory. J. London Math. Soc.31, 67-73 (1956). · Zbl 0070.04104
[2] Hardy, G. H.: On the expression of a number as the sum of two squares. Quart. J. Pure Appl. Math.46, 263-283 (1915). · JFM 45.1253.01
[3] Hecke, E.: Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. Seite231. Leipzig 1954. · Zbl 0057.27301
[4] Hecke, E.: Analytische Funktionen und algebraische Zahlen, Erster Teil. Mathematische Werke, Seite 336-360. Göttingen 1959.
[5] Siegel, C. L.: Additive Theorie der Zahlkörper. I. Math. Ann.87, 1-35 (1922). · JFM 48.0179.02
[6] Siegel, C. L.: Mittelwerte arithmetischer Funktionen in Zahlkörpern. Trans. Am. Math. Soc.39, 219-224 (1936). · JFM 62.0166.02
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