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On the facts on which geometry is based. (Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegen.) (German) JFM 01.0022.03

Beide Arbeiten (siehe auch JFM 01.0022.02) behandeln die Frage nach dem Ursprung und dem Wesen unsrer allgemeinen Anschauung vom Raume und suchen zu ermitteln, welche von den Sätzen der Geometrie objectiv gültigen Sinn haben, und wievil nur Definition oder Folge aus Definitionen ist.
Riemann sucht in die Frage einzudringen, indem er aus allgemeinen Grössenbegriffen den Begriff einer mehrfach ausgedehnten Grösse construirt, unter welchem die Raumgrössen als specieller Fall enthalten sind. Als wesentliches Kennzeichen einer \(n\)fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit stellt Riemann auf: 1) dass sich ein Punkt in derselben durch \(n\) veränderliche Grössen (Coordinaten) bestimmen lasse. 2) Als weitere Forderung wird hinzugefügt, dass die Länge einer Linie unabhängig sei von Ort und Richtung, dass also jede Linie durch jede andere messbar sei.
3) Um die Maassverhältnisse in einer solchen Mannigfaltigkeit zu untersuchen, ist für jeden Punkt das von ihm ausgehende Linienelement darzustellen durch die entsprechenden Differentialien der Coordinaten. Dies geschieht mittelst der Hypothese, dass Längenelement der Linie gleich sei der Quadratwurzel aus einer homogenen Funktion zweiten Grades von den Differentialien der Coordinaten. Diese Hypothese begründet Riemann nur als die einfachste, die den vorigen Bedingungen entspricht; er erwähnt inbesondere, dass auch eine vierte Wurzel aus einem homogenen Ausdruck vierten Grades oder andre noch complicirtere Ausdrücke für das Linienelement gesetzt werden könnten. – Einen besonderen Fall bilden hierbei diejenigen Mannigfaltigkeiten, in welchen sich das Quadrat des Linienelementes auf die Summe der Quadrate von vollständigen Differentialien bringen lässt; solche Mannigfaltigkeit nennt Riemann e b e n e.
Aus dieser Hypothese zieht Riemann nur einige Folgerungen in allgemeinster Form. Er betrachtet namentlich das Krümmungsmaass einer beliebigen Fläche in einer \(n\)fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit und zeigt, dass sich die Maasverhältnisse der Mannigfaltigkeit bestimmen lassen, wenn das Krümmungsmaass in jedem Punkte in \(n\cdot\frac{n-1}{2}\) Flächeneinrichtungen gegeben ist. – In den oben definirten ebenen \(n\)fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten ist das Krümmungsmaass in jeder Richtung null. Diese sind zu betrachten als ein besonderer Fall derjenigen Mannigfaltigkeiten, deren Krümmung allenthalben constant ist, in denen sich also \(n\)fach ausgedehnte Gebilde von endlicher Grösse ohne Dehnung bewegen lassen. Die Betrachtung dieser Mannigfaltigkeiten führt dann auf den Fall des wirklichen Raumes, der diese Forderung erfüllt. Es zeigt sich dabei, dass durch die zu Grunde gelegten vier Voraussetzungen die Unendlichkeit der Ausdehnungen des Raumes nicht gefordert wird, vielmehr könnte auch der Raum auf eine vierfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit das sein, was für eine dreifache Mannigfaltigkeit eine Fläche mit constantem Krümmungsmaass ist.
Helmholtz führt in seiner Arbeit die letzte Beschränkung, dass endliche Figuren ohne Formveränderung beweglich seien, von vorne herein ein. Die dritte Hypothese von Riemann ergiebt sich dann als eine nothwendige Folgerung dieser Annahme. Helmholtz beweist nämlich, dass ein homogener Ausdruck zweiten Grades von den Differentialien existirt, welcher bei jeder Bewegung zweier unter sich fest verbundener Punkte von verschwindend kleinem Abstande ungeändert bleibt.
Helmholtz legt demgemäss folgende Postulate zu Grunde:
1) Ein Punkt einer \(n\)fachen Mannigfaltigkeit ist durch \(n\) Coordinaten bestimmt (erstes Postulat von Riemann).
2) Zwischen den \(2n\) Coordinaten eines Punktpaares besteht eine von der Bewegung des letzteren unabhängige Gleichung, welche für alle congruenten Punktpaare dieselbe ist.
3) Es wird vollkommen freie Beweglichkeit der festen Körper vorausgesetzt.
4) Wenn ein fester Körper von \(n\) Dimensionen sich um \((n-1)\) feste Punkte dreht, so führt die Drehung ohne Umkehr in die Anfangslage zurück (Monodromie des Raumes).
Die Sätze 2) und 3) werden bei der Ableitung für die Länge des Linienelementes nur auf unendlich kleine Raumelemente eingeschränkt. Es zeigt sich also, dass die dritte Vorausetzung Riemanns identisch ist mit der, dass der Raum monodrom ist und unendlich kleine Raumelemente, von der Begrenzung abgesehen, einander congruent sind.
Die beiden Arbeiten von Riemann und Helmholtz zeigen also, dass die 4 von Helmholtz aufgestellten Postulate zusammen mit folgenden 2 Sätzen:
5) der Raum hat drei Dimensionen,
6) der Raum ist unendlich ausgedehnt,
die genügende Grundlage zur Entwickelung der Geometrie abgeben.

MSC:

00A30 Philosophy of mathematics
00A79 Physics
51F99 Metric geometry
51H20 Topological geometries on manifolds
51H25 Geometries with differentiable structure
51B20 Minkowski geometries in nonlinear incidence geometry
57N99 Topological manifolds

Citations:

JFM 01.0022.02
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Full Text: EuDML