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Fundamental theory of spaces of constant curvature. (Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante.) (Italian) JFM 01.0208.03
Der Verfasser betrachtet einen Raum von \(n\) Dimensionen, in welchem jeder Punkt durch ein Werthsystem der \(n\) Variabeln \(x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\) definirt ist. Ist \(x\) eine neue Variable, und \[ x^2+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=a^2, \] so drückt \(ds=R\frac{\sqrt{dx^2+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}}{x},\) (wo \(R\) und \(a\) Constanten) das Linearelement oder die Entfernung zweier unendlich nahen Punkte dieses Raumes aus. Die geodätischen Linien dieses Raumes genügen der Gleichung: \[ \delta\int\frac{\sqrt{dx^2+dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}}{x}=0 \] mit der Bedingung: \(x\delta x+x_{1}\delta x_{1}+\cdots +x_{n}\delta x_{n}=0.\) Hieraus leitet der Verfasser her: \[ x_{1}=b_{1}x_{n}+b_{1}';\;\;x_{2}=b_{2}x_{n}+b_{2}'; \dots x_{n-1}=b_{n-1}x_{n}+b_{n-1}'. \] Also werden die geodätischen Linien des betrachteten Raumes durch \((n-1)\) lineare Gleichungen unter den \(n\) Coordinaten \(x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\) dargestellt. Es folgt dann der Ausdruck für die Länge eines geodätischen Bogens. Sind die Variabeln \(x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\) und die Constanten \(R, a\) reell, so ist die Grenze dieses Raumes ein Raum von \((n-1)\) Dimensionen, der durch die Gleichung \(x_{1}^2+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=a^{2}\) gegeben ist. Innerhalb dieser Grenze ist der erste Raum stetig und einfach zusammenhängend. Es folgen nun Betrachtungen über die Winkel solcher geodätischen Linien und über die Transformation der Coordinaten. Am Schlusse finden sich Vergleiche mit der gewöhnlichen Geometrie und derjenigen auf Flächen von constanter negativer Krümmung.

MSC:
53A35 Non-Euclidean differential geometry
53C21 Methods of global Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions
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