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The surfaces of order four that possess a double curve of degree two. (Ueber die Flächen vierter Ordnung, welche eine Doppelcurve zweiten Grades besitzen.) (German) JFM 01.0258.01
Borchardt J. LXIX, 142-147 (1868); Berl. Monatsber. 1868 (1868).
Die Möglichkeit, eine Fläche dritter Ordnung auf einer Ebene eindeutig so abzubilden, dass die ebenen Schnitte sich als Curven dritter Ordnung darstellen, welche 6 Punkte, die Abbildungen von 6 sich nicht schneidenden Geraden, gemein haben, beruht auf dem Umstande, dass die Coordinaten eines beweglichen Punktes der Fläche sich als Functionen dritter Ordnung von drei homogen auftretenden Parametern darstellen lassen, welche für 6 Werthsysteme dieser Parameter gleichzeitig verschwinden.
Herr Clebsch geht nunmehr in vorliegender Abhandlung zur Untersuchung derjenigen Oberflächen über, deren Coordinaten sich ebenfalls durch Functionen dritter Ordnung darstellen: \[ \varrho x_{1}=f_{1}(\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}), \] \[ \varrho x_{2}=f_{2}(\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}), \] \[ \varrho x_{3}=f_{3}(\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}), \] \[ \varrho x_{4}=f_{4}(\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}), \] welche aber nur für 5 Werthesysteme der \( \xi\) gleichzeitig verschwinden. Dieselbe lässt sich, wie ersichtlich, gleichfalls auf einer Ebene eindeutig abbilden, ist aber von der vierten Ordnung und enthält eine Doppelcurve zweiten Grades. Aus der Abbildung geht hervor, dass die Fläche im Allgemeinen 16 Gerade, 10 Kegelschnittschaaren und viele andere Besonderheiten enthält, deren Entwickelung in der Arbeit erfolgt. Jene Abbildungsfähigkeit kommt aber jeder Fläche vierter Ordnung zu, welche einen Kegelschnitt als Doppelcurve enthält, so dass in der That die obigen Gleichungen, sowie alle die mannigfachen aus denselben entwickelten Eigenschaften denjenigen Flächen zukommen, mit denen Herr Kummer sich früher beschäftigt hat.

MSC:
14J25 Special surfaces
14J17 Singularities of surfaces or higher-dimensional varieties
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Full Text: DOI Crelle EuDML