×

zbMATH — the first resource for mathematics

Fibonacci series modulo \(m\). (English) Zbl 0101.03201
Eine interessante, wenn auch teils bereits Bekanntes betreffende Untersuchung über die Periodenlänge der Reste mod \(m\) bei einer Fibonaccischen Zahlenfolge \((u_{n+1} = u_n + u_{n-1})\) im allgemeinen und bei der Folge mit dem Beginn \(0,1\) im besonderen; diese Längen seien \(h(m)\) und \(k(m)\) genannt. Das Problem besteht im wesentlichen für Primzahlpotenzmoduln \(p^n\); zu beliebigem \(m\) kommt man dann durch Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Es besteht manche Analogie zu den Potenzrestperioden.
Zunächst gibt es keine „Vorperiode“. Ist ferner \(k(p^2)\ne k(p)\), so gilt allgemein \(k(p^n) = p^{n-1}k(p)\); doch gibt es unterhalb 10000 keine Primzahl mit \(k(p^2) = k(p)\), was etwa analog \(2^{364} - 1 \equiv 0 (10^{932})\) wäre. Dies wurde mittels Computer festgestellt. (Hierzu vgl. auch nachstehendes Referat [Zbl 0101.03202].)
Für \(m=p=10n \pm 1\) gilt \(k\mid p-1\), für \(p= 10n \pm 3\) ist \(k\mid 2(p+1)\) und \(k\equiv 0(4)\); \(k (2) = 3\), \(k(5) = 20\). Übrigens ist \(k(m)\) für \(m>2\) immer gerade.
In der allgemeinen Folge mit dem Anfang \(a\), \(b\) und \((a, b, m) = 1\) hat man noch: Stets ist \(h\mid k\); \(h(p^n) = k(p^n)\) für \(p = 5n \pm 2\); bei \(m = 5^n\) ist \(h = k\) oder \(h = k/5\), je nachdem \(b^2 - ab - a^2 \not\equiv 0(5)\) oder \(\equiv 0(5)\); bei \(m = p^n\), \(p = 10n \pm 1\) ist \(h = k\) wenn \(h\) gerade, \(h = k/2\) wenn \(h\) ungerade. Immer wenn \((b^2 - ab - a^2, m) = 1\), ist \(h = k\).
Die Beweise sind elementar. Am Schlusse steht eine Liste der Werte \(k\) für alle Primzahlen unter 2000, bei denen \(k\) nicht den Höchstwert \(p-1\), bzw. \(2p + 2\) erreicht. Es sind dies 99 der insgesamt 301 Primzahlen außer 2 und 5.

MSC:
11B39 Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations
11B50 Sequences (mod \(m\))
Citations:
Zbl 0101.03202
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI