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Differentiation in algebraischen Funktionenkörpern von \(n\) Variablen. (German) Zbl 0105.03101
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References:
[1] Umgearbeitete Fassung meiner Dissertation (Bonn 1955).
[2] Kähler, E.: Algebra und Differentialrechnung, Ber. Math. Tagung Berlin 1953, S. 58-163. · Zbl 0053.02002
[3] Vgl.C. Chevalley: Introduction to the Theory of Algebraic Functions of one Variable. Math. Surveys VI. New York 1951. Zitiert mit ?Ch.?
[4] Inzwischen hatF. K. Schmidt die Riemannsche Formel für a.F.nV. in voller Allgemeinheit bewiesen (noch unveröffentlicht).
[5] Vgl.W. Krull: Über geschlossene Bewertungssysteme. J. f Math.190, 75-92 (1952). Zitiert mitKr. · Zbl 0048.26603
[6] Vgl.N. Bourbaki: Algèbre, Paris 1950, V § 9 No 1 Prop. 4-5; fürn=0 ist ?r separierend? zu ersetzen durch ?R|K separabel?.
[7] Nur in § 4 werden außerdem ?gestufte Bewertungen? behandelt.
[8] Das heißt: für jedeB *-konvergente Folge <z i>m?i<t8 ausR * ist \(D^ * (\mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } z_i ) = \mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } D^ * z_i\) .
[9] Vgl.W. Krull: Allgemeine Bewertungstheorie. J. f Math.167 160-196 (1931), insb. § 5.
[10] Ch. behandelt nur den separablen Fall. IstR|I inseparabel, so gilt dasselbe fürR *|I * (Ch. IV S. 68 oben), also istSp R*|I* R={0}, also Diff R|I B=?; und nach (2.6) a) ist stetsB inseparabel bez.I odere durchCh(R) teilbar.
[11] Istb z, P die unter \(\tilde b = \tilde b_z ,\tilde p(z = \chi order = \chi ^{ - 1} )\) liegende Bewertung von K(x), so istP durch \(\tilde P\) , aber nicht durch \(\tilde P^2\) teilbar, also \(\tilde b\) unverzweigt bezüglichI. Ferner ist \(\tilde b\) separabel bezüglichI, also gilt die Gleichung nach (5.1) b).
[12] Diff R|K B>0 ist jedoch als Ausnahmefall anzusehen, denn jedes projektive BewertungssystemS |?| (? separierend inR|K) enthält höchstens endlich viele BewertungenB dieser Art [(6.6.*)!].
[13] Vgl.G. Pickert: Einführung in die Höhere Algebra, Göttingen 1951; insbesondere § 31, S. 196 unten und Aufgabe 2.
[14] FürB-nichtzulässige ? ist ein einfacher Zusammenhang zwischenB (d?) und Diff R|K(n) B nicht zu erwarten. Ist z. B.n>1, ?B-zulässig,B(? n )>0,n i =<?1\(\cdot\)? n i ,?2,...,? n > (B-nichtzulässig füri?0!), so sind dieB(d n i ) paarweise, verschieden, dagegen [wegen K(n i )=K(?)] alleB-Differenten Diff R|K*(n i) B gleich.
[15] Im Beweis wird o.B.d.A.k=1 angenommen.
[16] Der inKr. § 6 nur für separierende ? geführte Beweis gilt für beliebige Tr.-B. ?. [(2.4) b) gilt ohne Separabilitätsvoraussetzung!]
[17] Vgl.H. Hasse: Zahlentheorie, S. 322. Berlin: Akademieverlag 1949.
[18] p ?,? bezeichnet den zub ?,? gehörigen Primdivisor vonS |?|, (Con R|I a)B=e R|I \(\cdot\)ab (vgl.Ch. IV § 7). Multiplikation der Divisoren wie üblich.
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