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Differential-difference equations. (English) Zbl 0105.06402
Mathematics in Science and Engineering. 6. New York-London: Academic Press. xvi, 462 p. (1963).
Le livre est dédié à une théorie qui s’est sensiblement développée les dernières années et dont le développement est peu reflété par des monographies. Les AA. ne se proposent pas de donner une telle monographie, mais en s’adressant à des lecteurs de niveaux différents ils donnent une première esquisse de la théorie, qui peut servir au mathématicien aussi bien qu’à l’ingénieur intéressé dans les appliquations. On souligne les principaux problèmes, les idées, et on évite les démonstrations trop difficiles; la lecture du livre suppose au lecteur seulement la connaissance des faits fondamentaux de l’analyse mathématique et de l’algèbre linéaire. La méthode constante des AA. consiste dans la présentation des cas particuliers significatifs pour dégager les idées essentielles qui peuvent servir ensuite pour traiter le cas général.
Un très grand nombre d’exemples et d’exercices accompagnent l’exposé. Ce ne sont pas de simples exercices mais parfois des questions qui on fait l’object des recherches originales, des applications ou des questions liées de quelque manière au sujet traité sans s’encadrer dans la théorie des équations différentielles à argument dévié. Pour en donner une idée, remarquons que seul le chapitre 3 contient environ 130 exercices et problèmes, dont plus de moitié sont des questions plus difficiles que le texte principal, proposées au lecteur intéressé dans l’étude plus approfondie du sujet, constituant en même temps une certaine orientation dans la bibliographie.
La lecture du livre est très agréable. Le premier chapitre contient un exposé succint sur la transformation de Laplace qui est constamment utilisée dans le livre, le second représente une introduction dans la théorie des équations différentielles qui donne une idée sur les problèmes traités dans les autres chapitres.
Le chapitre 3 est dédié aux équations avec argument retardé et coefficients constants, du premier ordre; on présente le théorème d’existence, des évaluations, la formule qui donne la solution de l’équation non-homogène, toute la théorie étant fondée sur la transformation de Laplace. Le chapitre suivant contient l’étude des développements en série des solutions, du comportement asymptotique et de la stabilité pour les mêmes équations. Les chapitres 5 et 6 traitent les mêmes questions pour les équations du type neutre et pour les systèmes. Les deux chapitres suivants contiennent une étude de l’équation intégrale de Volterra dont le noyau dépend seulement de la différence des arguments; on donne des théorèmes intéressants sur le comportement asymptotique des solutions.
Le chapitre 9 contient l’étude du comportement asymptotique des solutions de l’équation linéaire à argument retardé, du premier ordre, dans le cas où les coefficients ont des limites pour \(t\to\infty\). La seconde partie du chapitre est dédiée aux développements en series asymptotiques, mais cette théorie est expliquée surtout pour le cas des equations ordinaires.
Le contenu du chapitre 10 répète en essence le travail commun des AA. sur la stabilité des systèmes linéaires à argument retardé ou de type neutre [Trans. Am. Math. Soc. 92, 470–500 (1959; Zbl 0090.29802)]. L’étude est basée sur la formule qui donne la solution du système linéaire non-homogène, obtenue à l’aide du système adjoint.
On peut remarquer que les AA. n’attirent pas l’attention sur le fait que les formules des chapitres 3, 5, 6, obtenues à l’aide de la transformation de Laplace sont des cas particuliers de la formule générale du chapitre 10.
Le chapitre 11 contient la théorie de la stabilité pour les systèmes linéaires en première approximation. Pour l’équation \[ u'(t) + bu(t-\omega) + bu(t-\omega) u(t) = 0 \] on prouve un théorème plus précis sur le comportement asymptotique.
Dans les deux derniers chapitres on étudie l’équation transcendente qui intervient dans la théorie des équations à coefficients constants.
Les contributions originales des auteurs occupent une grande place dans le livre. Le problème des solutions périodiques et presque-périodiques n’est pas traité.

MSC:
34Kxx Functional-differential equations (including equations with delayed, advanced or state-dependent argument)
34-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to ordinary differential equations