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Equazioni differenziali ordinarie quasilineari con condizioni lineari. (Italian) Zbl 0105.29402

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References:
[1] Tale osservazione vale anche in condizioni più generali relativamente alla trasformazione ed allo spazio in cui essa opera. Si vedaR. Conti,Un’osservazione sulle trasformazioni continue di uno spazio metrico e alcune applicazioni “ Le Matematiche {”, Catania, 15 (1960) 92--97.
[2] L. A. Ladyzenskii,Condizioni per la completa continuità dell’operatore integrale di P. S. Urysohn nello spazio delle funzioni continue, “ Dokl. Akad. Nauk S. S. S. R {”, 97 (1954), 1105--1108; Cfr. ancheM. A. Krasnosel’skii,Metodi topologici nella teoria delle equazioni integrali non lineari (G. I. T. T. L., Mosca, 1956). L’enunciato del teorema è il seguente: “ Sia {$\Delta$} un insieme chiuso e limitato di unE k euclideo e la funzioneK(t, s, u) definita int, s {$\epsilon$} {$\Delta$},u {$\epsilon$}E 1 soddisfi le seguenti condizioni:a)K(t, s, u) sia continua inu per ognit {$\epsilon$} {$\Delta$} e per quasi tutti glis {$\epsilon$} {$\Delta$} e sia misurabile --L ins pert {$\epsilon$} {$\Delta$},u {$\epsilon$}E 1 ;b) per ogni {$\alpha$}>0 sia $\int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t,s,u} \right)} \right|ds< \infty , t \in \Delta $ $\mathop {\lim }\limits_{\left| h \right| \to 0} \int\limits_\Delta {\mathop {\sup }\limits_{\left| u \right| \leqslant \alpha } } \left| {K\left( {t + h,s,u} \right)} \right| - K\left( {t,s,u} \right)\left| {ds} \right. = 0,t, t + h \in \Delta .$ Allora l’operatore (diUrysohn) $\int\limits_\Delta {K\left( {t,s,x\left( s \right)} \right)ds} $ opera nello spazioR (n=1) ed è completamente continuo {”. La dimostrazione di questo teorema si trasporta senza difficoltà al cason>1.
[3] Cfr.A. Smogorshewsky,Les fonctions de Green des systèmes différentiels linéaires dans un domaine à une seule dimension, “ Matem. Sbornik {”, 7 (49) (1940), 179--196. · Zbl 66.0422.01
[4] I. Barbalat-A. Halanay,Solutions périodiques des systèmes d’équations différentielles non linéaires, “ Revue math. pures et appl. (R.P.R) {”, 3 (1958), 395--411;L. N. Esciukov,Su un problema funzionale per le equazioni differenziali ordinarie, “ Uspiehi Mat. Nauk {”, XIII, 3 (81), (1958), 191--196;R. Conti,Equazioni differenziali ordinarie con condizioni lineari generali, “ Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sc. fis. mat. nat. {”, (8) 26 (1959), 636--640.