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On Engel’s and Sylvester’s series. (English) Zbl 0107.27002
Jede reelle Zahl \(x\) \((0 < x < 1)\) kann in eine Engelsche Reihe \(x=1/q_1 + 1/q_1q_2 + \cdots + 1/q_1q_2 \cdots q_n+ \cdots \) entwickelt werden. Dabei ist \(q_{n+1} (x)=[1/r_n (x)]\), wobei die \(r_n(x)\) rekursiv durch \(r_0 (x)=x,\) \(r_{n+1} (x)=r_n (x) [1/r_n (x)]-1\) definiert sind. Die \(q_n(x)\) werden als Zufallsvariable über dem Intervall \((0,1)\) aufgefaßt. Die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) einer meßbaren Teilmenge \(A\) von \((0,1)\) sei durch ihr Lebesguesches Maß gegeben. Es werden u. a. die folgenden Sätze bewiesen: Satz 2: Für jedes reelle \(y\) gilt \[ \lim_{n \to \infty} P \left({\log q_n -n \over \sqrt n} < y \right) = {1 \over \sqrt {2\pi}} \int_{-\infty}^y - e^{-{1 \over 2} t^2} dt. \] Satz 3: Für fast alle \(x\) gilt \[ \lim_{n \to \infty} \root n \of {q_n} = e. \] Satz 4: Für fast alle \(x\) gilt \[ \varlimsup_{n \to \infty} {\log q_n-n \over \sqrt {2n\log\log n}} = 1 \] und \[ \varliminf {\log q_n -n \over \sqrt {2n\log\log n}} = -1. \] Satz 3 wurde ohne Beweis von E. Borel [C. R. Acad. Sci. Paris 225, 51 (1947)] angegeben. Die Sätze 2 und 4 wurden mit Beweisskizzen zuerst von P. Lévy (Zbl 0029.15304) ausgesprochen. Im zweiten Teil der Arbeit werden Entwicklungen in Sylvestersche Reihen \(x = 1/Q_1 + 1/Q_2+ \cdots + 1/Q_n + \cdots\) betrachtet. Es wird gezeigt, daß \(\log (Q_n/Q_1 \cdots Q_{n-1}\) asymptotisch normal verteilt ist und daß \(\lim_{n \to \infty} \log (Q_n (x)/ 2^n)\) fast überall existiert.
Zum Schluß werden einige zahlentheoretische Fragen, die mit diesen Entwicklungen zusammenhängen, betrachtet und ungelöste Probleme erwähnt.
Reviewer: J.Cigler

MSC:
11K55 Metric theory of other algorithms and expansions; measure and Hausdorff dimension
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