On small sumsets in an abelian group. (English) Zbl 0108.25704

Kemperman, J. H. B.

Acta Math. 103, 63-88 (1960).

\(G\) sei eine abelsche Gruppe, \(A\) und \(B\) endliche nichtleere Teilmengen mit \(| A|\) bzw. \(| B|\) Elementen, \(C=A+B\), \(P=P(C)=\{x\in G\mid C+x=C\}\); \(C\) heiße periodisch, wenn \(P\neq \{0\}\), sonst aperiodisch. Es ist bekannt [M. Kneser, Math. Z. 58, 459–484 (1953; Zbl 0051.28104)], daß stets \(| A+B|\geq | A| +| B| -| P|\) ist. Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung aller Paare \(A,B\) mit \(| A+B|<| A| +| B|\). Durch Übergang zur Faktorgruppe \(G/P\) kann man \(A+B\) aperiodisch voraussetzen, so dass also (1) \(| A+B|= | A| +| B| -1\) wird. Allgemeiner wird ein Verfahren angegeben, um alle Paare \(A,B\) zu bestimmen, für die (1) gilt und, falls \(A+B\) periodisch ist, die Anzahl \(n(c;A,B)\) der Lösungen \((a,b)\) von \(a+b=c\), \(a\in A\), \(b\in B\) für mindestens ein \(c\) gleich eins ist. Solche Paare mögen kritisch heißen. Beispiele sind a) \(| A| =1\) oder \(| B| =1\); b) \(A=\{a+nd\mid n=0,1,\dots,| A|-1\}\), \(B=\{b+nd\mid n=0,1,\dots,| B|-1\}\) mit einem Element \(d\), dessen Ordnung \(\geq | A| +| B| -1\) ist; c) \(H\) ist eine endliche Untergruppe von\(G\), \(A\) und \(B\) sind je in einer Restklassee mod \(H\) enthalten, \(| A| +| B| =| H| +1\) und für mindestens ein \(c\) ist \(n(c;A,B)=1\); d) \(A\) ist aperiodisch, in einer Restklasse modulo einer endlichen Untergruppe \(H\) enthalten, und \(B=g-(\mathfrak{C} A\cap (a+H))\) mit \(a\in A\), \(g\in G\). Paare dieser Art mögen elementar heißen. Dann gilt: \(A,B\) ist genau dann kritisch, wenn es eine Untergruppe \(H\neq \{0\}\) von \(G\) gibt und Zerlegungen \(A=A_1\cup A_2\), \(B=B_1\cup B_2\) mit den Eigenschaften (i) \(A_1\) und \(B_1\) sind je in einer Restklasse mod \(H\) enthalten und bilden ein elementar kritisches Paar; (ii) \(A_2\) und \(B_2\) bestehen aus vollen Restklassen modulo \(H\); (iii) Ist \(p\) der kanonische Homomorphismus \(G\to G/H\), so ist \(pA,pB\) ein kritisches Paar mit \(n(pA_1+pA_2;pA,pB)=1\). Dieser Satz erlaubt induktiv die Konstruktion aller kritischen Paare. Schließlich werden noch einige Sätze über die Lösungsanzahlen \(n(c;A,B)\) im Falle \(| A+B| < | A| +| B| \) bewiesen.

Reviewer: M. Kneser

MSC:

11B75	Other combinatorial number theory
20K01	Finite abelian groups

Keywords:

group theory

Citations:

Zbl 0051.28104

References:

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[9]	Vosper, G., Addendum to “The critical pairs of subsets of a group of prime order, J. London Math. Soc., 31, 280-282, (1956) · Zbl 0072.03402