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Abstract commutative ideal theory. (English) Zbl 0111.04104
Im Jahre 1939 [Ann. Math. (2) 40, 328–338 (1939; Zbl 0020.34304); Trans. Am. Math. Soc. 45, 335–354 (1939; Zbl 0021.10801), Ann. Math. (2) 40, 600–608 (1939; Zbl 0021.21201)] wurde von M. Ward und dem Verf. der vorliegenden Arbeit eine neue, verbandstheoretische Diskussion der Idealtheorie der kommutativen Ringe begründet. In der Begründung spielten die sogenannten Hauptelemente eine bedeutende Rolle, aber die damalige Definition dieser Elemente war nicht geeignet dazu, daß man auf Grund dieses Begriffes einen vollständigen Aufbau der abstrakten Idealtheorie geben konnte. In dieser Arbeit gibt der Verf. eine neue Definition für die Hauptelemente, und mit Hilfe des neuen Begriffes gelangt er bis zu einer passenden Formulierung des Krullschen Hauptidealsatzes.
Es sei \(L\) ein beschränkter Verband mit einer assoziativen, kommutativen, vereinigungsdistributiven Multiplikation und mit der Operation der Residualbildung (englisch: residuation) versehen; das größte Element \(I\) von \(L\) soll gleichzeitig das Einselement der Multiplikation sein. Ein Element \(M\) of \(L\) heißt ein Hauptelement, falls die Ungleichungen \((A\cap (B:M))\cdot M\geq A\cdot M\cap B\) und \((A\cup B\cdot M):M\leq (A:M)\cup B\) für jedes Paar \(A, B\) aus \(L\) gelten. Es wird gezeigt, daß jedes Hauptideal eines kommutativen Ringes \(R\) ein Hauptelement im Idealverband von \(R\) ist, und in einem Integritätsbereich mit eindeutiger Faktorisation auch die Umkehrung dieser Behauptung richtig ist. Dann wird \(L\) ein Noetherscher Verband genannt, wenn er modular ist, der Maximumbedingung genügt und sich jedes von seinen Elementen als die Vereinigung von Hauptelementen darstellen läßt. (Der Idealverband eines Noetherschen Ringes ist in diesem Sinne ein Noetherscher Verband; ein distributiver Verband ist Noethersch genau dann, wenn er eine endliche Boolesche Algebra ist.) Es wird gezeigt, daß jedes irreduzible Element eines Noetherschen Verbandes primär ist, wobei das Wort ,,primär” (und ,,prim”) im üblichen ring-theoretischen Sinne gebraucht wird.
Ferner beweist der Verf. den folgenden sogenannten Durchschnittssatz: Es seien \(A, B\) beliebige Elemente eines Noetherschen Verbandes, \(A = Q_1\cap\cdots\cap Q_n\) eine normale Zerlegung von \(A\) und \(\{P_1,\ldots, P_n\}\) die Menge der zugehörigen Primelemente; dann ist der Durchschnitt aller \(A\cup B^k\) \((k = 1, 2, \ldots)\) gleich dem Durchschnitt aller \(Q_i\), für die \(P_i\cup B\) von \(I\) verschieden ist.
In den nachfolgenden Paragraphen werden für Noethersche Verbände die Begriffe des Faktorverbandes und der Kongruenzrelation bezüglich eines Elementes eingeführt und der folgende Satz bewiesen: Ist die Minimumbedingung in den Quotienten (= Intervallen) \(a/b\) und \(b/c\) eines modularen Verbandes erfüllt, so ist sie auch in \(a/c\) erfüllt. Auf Grund des Vorangehenden wird schon die oben erwähnte abstrakte Fassung des Krullschen Satzes gewonnen, wie folgt: Es seien \(P\) ein minimales Primelement und \(M\) ein Hauptelement eines Noetherschen Verbandes, so daß \(P\geq M\) ist. Dann ist jede absteigende Kette mit größtem Element \(P\) höchstens von der Länge 1.
Reviewer: G. Szász

MSC:
13A15 Ideals and multiplicative ideal theory in commutative rings
06B10 Lattice ideals, congruence relations
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