Differential geometry and symmetric spaces. (English) Zbl 0111.18101

Helgason, Sigurdur

Pure and Applied Mathematics, 12. New York-London: Academic Press. xiv, 486 p. (1962).

Die sogenannten „symmetrischen“ Riemannschen Räume, d. h. diejenigen Riemann_schen Räume, bei denen die kovariante Ableitung des Riemannschen Krümmungstensors identisch Null ist, haben bekanntlich deshalb eine sehr wichtige Bedeutung erlangt, weil sie eine Mittelstellung zwischen den allgemeinen Riemannschen Räumen und den Riemannschen Räumen konstanter Krümmung einnehmen. Es war E. Cartan, der diese Bedeutung erkannte und dem es gelang, in einer sehr intuitiven Weise eine Theorie der symmetrischen Riemannschen Räume durch eine geeignete gruppentheoretische Behandlung aufzubauen. In dem vorliegenden Werk unternimmt es nun Verf., diese Theorie durch Anpassung an moderne mathematische Begriffsbildungen einem breiten mathematischen Publikum zugänglich zu machen, wobei er sie in einer sehr umfassenden Weise lehrbuchmäßig darstellt.
Dieser Versuch darf als in jeder Hinsicht geglückt bezeichnet werden. So wird schon durch den im folgenden kurz geschilderten Aufbau des Werks die enge Verbindung zwischen differentialgeometrischer und Liegruppentheoretischer Struktur ersichtlich. In Kap. I („Elementare“ Differentialgeometrie) legt Verf. die wichtigsten Begriffsbildungen der Riemannschen Geometrie dar (differenzierbare Mannigfaltigkeit, Tensorfeld, Differentialform, affiner Zusammenhang, Riemannsche Metrik und Riemannsche Krümmung). Er benutzt dabei im wesentlichen die von Chevalley und Nomizu gegebenen Definitionen. Bemerkenswert ist weiter die (für spätere Zwecke wichtige) Behandlung der vollständigen Riemannschen Räume mit negativer Krümmung und die Untersuchung von „fortsetzbaren“ lokalen Isometrien. Wichtigstes Hilfsmittel ist hierbei die in bekannter Weise mittels der Autoparallelen eines affinen Zusammenhangs definierte Abbildung „Exp“ des Tangentialraums einer Mannigfaltigkeit in diese selbst.
Dies gilt auch für Kap. II (Liegruppen und Liealgebren), worin zunächst gegen Linksmultiplikation invariante affine Zusammenhänge einer Liegruppe \(G\) definiert und vollständig aufgezählt werden. Die durch gewisse spezielle invariante affine Zusammenhänge gegebenen Abbildungen „Exp“ stimmen dann mit der durch die einparametrigen Untergruppen von \(G\) in der üblichen Art bei Liegruppen definierten Exponentialabbildung überein, mit deren Hilfe sich die Beziehungen zwischen Liegruppen und Liealgebren herleiten lassen. Zwecks späterer Anwendung wird noch besonders auf homogene Räume und die darauf operierenden Lieschen Transformationsgruppen eingegangen, während in Kap. III (Struktur der halbeinfachen Liealgebren) die von E. Car tan und H. Weyl entwickelte Theorie der komplexen halbeinfachen Liealgebra dargelegt wird. Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Satz von Cartan, daß jede komplexe halbeinfache Liealgebra eine kompakte reelle Form besitzt.
Damit sind alle Vorbereitungen getroffen, um in Kap. IV (Symmetrische Räume) mit der Untersuchung über den Hauptgegenstand des Werkes zu beginnen. Verf. definiert eine Riemannsche Mannigfaltigkeit als „lokal symmetrisch“, wenn die lokale geodätische Spiegelung an einem beliebigen Punkt eine Isometrie darstellt – oder damit gleichbedeutend, wenn die Riemannsche Krümmung gegen Parallelverschiebung invariant ist. Den lokal symmetrischen Mannigfaltigkeiten werden die spezielleren „global“ symmetrischen gegenübergestellt, die durch die Existenz einer involutorischen Isometrie mit einem beliebigen vorgebbaren Punkt als isoliertem Fixpunkt definiert werden. (Bei Cartan tritt der Unterschied zwischen den beiden Arten von symmetrischen Räumen nicht deutlich hervor!) Die letzteren sind homogene Räume \(G/K\) in bezug auf die Gruppe \(I\) aller ihrer Isometrien \((G\) = Komponente der Identität von \(I\), \(K\) = Isotropiegruppe von \(G\) in einem Punkt \(p_0)\) und geben Anlaß zur Betrachtung von „Riemannschen symmetrischen Paaren“ von Lieschen Gruppen \((G, K)\).
Diesen Paaren entsprechen Paare von Liealgebren. welche sich nach Kap. V (Zerlegungen symmetrischer Räume) als direkte Summe von drei Paaren von Liealgebren speziellen Typs – nämlich des kompakten bzw. des (dazu in gewisser Weise dualen) nichtkompakten bzw. des (trivialen) euklidischen Typs – darstellen lassen. Diese drei Typen unterscheiden sich u. a. dadurch, daß die zugehörigen homogenen Räume \(G/K\) (in bezug auf eine beliebige \(G\)-invariante Riemannsche Metrik) nichtnegative bzw. nichtpositive bzw. verschwindende Riemannsche Krümmung besitzen, wie mit Hilfe einer bemerkenswerten, vom Verf. stammenden Herleitung der Cartanschen Formel für den Krümmungstensor von \(G/K\) gezeigt wird.
In Kap. VI (Symmetrische Räume des nichtkompakten Typs) und Kap. VII (Symmetrische Räume des kompakten Typs) werden die beiden nichttrivialen Typen von Kap. V im einzelnen untersucht und insbesondere alle global symmetrischen Räume zu einem vorgegebenen Paar von Liealgebren bestimmt.
Während in Kap. VIII (Hermitesche symmetrische Räume) die Ergebnisse der letzten Kapitel auf komplexe Mannigfaltigkeiten ausgedehnt werden und die Aufspaltung von Kap. V durch eine zusätzliche Aufspaltung der Paare von Liealgebren in „irreduzible“ Bestandteile ergänzt wird, findet sich in Kap. IX (Über die Klassifikation symmetrischer Räume) eine vollständige Beschreibung aller irreduziblen, kompakten und nichtkompakten, globalen symmetrischen Räume mit Hilfe der Cartanschen Liste aller einfachen komplexen bzw. aller einfachen kompakten Liealgebren.
Schließlich ist Kap. X (Funktionen auf symmetrischen Räumen) dem Studium spezieller Funktionen, nämlich den sogenannten „sphärischen“, durch die Funktionalgleichung \(\int_k f(xky) \,dk = f(x)\, f(y)\) für alle \(x, y\in G\) charakterisierten komplexwertigen stetigen Funktionen eines (global) symmetrischen Raums \(G/K\) gewidmet, was für die Theorie der unitären Darstellungen von \(G\) im Hilbertschen Raum von Bedeutung ist.
Die Darstellung der sehr umfangreichen Materie des Buches ist knapp gehalten, aber von kaum zu überbietender Klarheit. An Vorkenntnissen werden nur die Grundtatsachen der allgemeinen Topologie vorausgesetzt. Kurze Inhaltsangaben am Anfang, historische Bemerkungen und etliche Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels ergänzen den Text wirkungsvoll. Ein ausführliches Literaturverzeichnis beschließt das Werk, welches für Kenner und Liebhaber von wegweisender Bedeutung sein dürfte.

Reviewer: Kurt Leichtweiß (Berlin)

MSC:

53-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
53-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53Cxx	Global differential geometry
53C35	Differential geometry of symmetric spaces

Keywords:

symmetric Riemannian manifolds