×

Differential forms on general commutative algebras. (English) Zbl 0113.26204

In einem allgemeinen Teil über Tor und Ext werden natürliche Paarungen \(\mathrm{Ext}^m(A,B)\times \mathrm{Ext}^n(B,C)\to \mathrm{Ext}^{m+n}(A,C)\) und \(\mathrm{Tor}_m(D, A)\times \mathrm{Ext}^n(A , B)\to \mathrm{Tor}_{m-n}(D,B)\) definiert (wobei \(A, B, C\) Linksmoduln und \(D\) ein Rechtsmodul über einem Ring \(S\) ist). Speziell wird hierdurch \(\mathrm{Ext}(A , A)\) zu einem graduierten Ring und \(\mathrm{Tor}(D, A)\) so einem graduierten \(\mathrm{Ext}(A,A)\)-Rechtsmodul. Ist \(K\) ein kommutativer Ring mit 1, \(R\) eine kommutative, unitäre, \(K\)-projektive \(K\)-Algebra und \(S=R\otimes_k R\), so erhält man auf \(\mathrm{Ext}^{s}(R, R)\) das bekannte Produkt \(\bigvee\) (vgl. [H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, NJ (1956; Zbl 0075.24305)], p.229, Ex. 2). Bekanntlich ist \(\mathrm{Tor}_1^{s}(R, R)\) kanonisch isomorph zum Differentialmodul \(D_R\) von \(R\) über \(K\) (Modul der formalen Differentiale von \(R\) über \(K\)), während \(\mathrm{Ext}^1_s(R,R)\) kanonisch mit dem Modul \(T_R\) der \(K\)-Derivationen \(S:R\to R\) identifiziert werden kann. \(\mathrm{Tor}(R,R)\), mit dem Produkt \(\pitchfork\) versehen (Cartan-Eilenberg, p. 211), und \(\mathrm{Ext}_s(R,R)\) mit dem Produkt \(\bigvee\), sind antikommutative graduierte Algebren. Ist 2 in R invertierbar, so hat man daher kanonische Homomorphismen \(E(D,R)\to\mathrm{Tor}(R, R)\) und \(E(T_R)\to \mathrm{Ext}_s(R,R)\), wenn \(E\) die äußere Algebra eines Moduls bezeichnet. Es stellt sich heraus, daß \(E(D_R)\times E(T_R)\to\mathrm{Tor}^s(R,R)\times\mathrm{Ext}(R,R)\to R\) die natürliche Paarung ist, die zwischen der äußeren Algebra von \(D_R\) und der seines Duals \(T_R\) besteht.
Von Hochschild, Kostant und Rosenberg [G. Hochschild et al., Trans. Am. Math. Soc. 102, 383–408 (1962; Zbl 0102.27701)] wurde gezeigt, daß \(E(D_R)=\mathrm{Tor}^s(R, R)\) und \(E(T_R)=\mathrm{Ext}_s(R,R)\) ist, falls \(R\) eine reguläre affine Algebra über einem vollkommenen Körper \(K\) ist. Im Anschluß an dieses Ergebnis erhebt sich die Frage, ob man nicht schon auf \(\mathrm{Tor}^s(R, R)\) allgemein Operationen definieren kann, die den in \(E(D_R)\) definierten Operationen: äußere Differentiation, Lie-Derivation bezüglich einer \(K\)-Derivation \(\delta:R\to R\), Verjüngung bezüglich \(\delta\) entsprechen und im Spezialfall \(E(D_R)=\mathrm{Tor}^s(R, R)\) diese Operationen liefern. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß dies der Fall ist.
In der Arbeit von Hochschild, Kostant und Rosenberg [loc. cit.] wurde bewiesen, daß unter geeigneten Voraussetzungen über \(K\) und \(R\) die Kohomologie-Algebra des Komplexes \(\operatorname{Hom}_R(E(T_R), R)\) mit \(\mathrm{Ext}_{V_R}(A, R)\) identifiziert werden kann, wobei \(V_R\) ein geeignet konstruierter Ring ist. Verf. verallgemeinert dieses Ergebnis unter anderem für den Fall, daß \(B\) und \(K\) beliebige Ringe sind, wobei nur vorausgesetzt wird, daß \(T_R\) \(R\)-projektiv ist (z.B. wenn \(B\) der Ring der differenzierbaren Funktionen auf einer \(C^\infty\)-Mannigfaltigkeit ist).
Editorial remark (2021): The PBW theorem derived hier is not true in full generality, as explained in H. Ø. Maakestad [J. Algebra 463, 281–283 (2016; Zbl 1441.14065)].
Reviewer: E. Kunz

MSC:

17B56 Cohomology of Lie (super)algebras
17B62 Lie bialgebras; Lie coalgebras
17B70 Graded Lie (super)algebras
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI

References:

[1] Henri Cartan and Samuel Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. · Zbl 0075.24305
[2] P. Cartier, Dérivations dans les corps, École Norm. Sup., Paris, 1956, Exp. 13.
[3] Jean-Claude Herz, Pseudo-algèbres de Lie. I, C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), 1935 – 1937 (French). · Zbl 0050.03201
[4] G. Hochschild, Relative homological algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 246 – 269. · Zbl 0070.26903
[5] G. Hochschild, Bertram Kostant, and Alex Rosenberg, Differential forms on regular affine algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 383 – 408. · Zbl 0102.27701
[6] G. Hochschild and Alex Rosenberg, Operations on \?\?\? and \?\?\?, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 88 – 92. · Zbl 0104.24504
[7] Irving Kaplansky, Projective modules, Ann. of Math (2) 68 (1958), 372 – 377. · Zbl 0083.25802
[8] Richard S. Palais, The cohomology of Lie rings, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1961, pp. 130 – 137.
[9] Nobuo Yoneda, On the homology theory of modules, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 7 (1954), 193 – 227. · Zbl 0058.01902
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.