Differential forms on general commutative algebras. (English) Zbl 0113.26204

Rinehart, G. S.

Trans. Am. Math. Soc. 108, 195-222 (1963).

In einem allgemeinen Teil über Tor und Ext werden natürliche Paarungen \(\mathrm{Ext}^m(A,B)\times \mathrm{Ext}^n(B,C)\to \mathrm{Ext}^{m+n}(A,C)\) und \(\mathrm{Tor}_m(D, A)\times \mathrm{Ext}^n(A , B)\to \mathrm{Tor}_{m-n}(D,B)\) definiert (wobei \(A, B, C\) Linksmoduln und \(D\) ein Rechtsmodul über einem Ring \(S\) ist). Speziell wird hierdurch \(\mathrm{Ext}(A , A)\) zu einem graduierten Ring und \(\mathrm{Tor}(D, A)\) so einem graduierten \(\mathrm{Ext}(A,A)\)-Rechtsmodul. Ist \(K\) ein kommutativer Ring mit 1, \(R\) eine kommutative, unitäre, \(K\)-projektive \(K\)-Algebra und \(S=R\otimes_k R\), so erhält man auf \(\mathrm{Ext}^{s}(R, R)\) das bekannte Produkt \(\bigvee\) (vgl. [H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, NJ (1956; Zbl 0075.24305)], p.229, Ex. 2). Bekanntlich ist \(\mathrm{Tor}_1^{s}(R, R)\) kanonisch isomorph zum Differentialmodul \(D_R\) von \(R\) über \(K\) (Modul der formalen Differentiale von \(R\) über \(K\)), während \(\mathrm{Ext}^1_s(R,R)\) kanonisch mit dem Modul \(T_R\) der \(K\)-Derivationen \(S:R\to R\) identifiziert werden kann. \(\mathrm{Tor}(R,R)\), mit dem Produkt \(\pitchfork\) versehen (Cartan-Eilenberg, p. 211), und \(\mathrm{Ext}_s(R,R)\) mit dem Produkt \(\bigvee\), sind antikommutative graduierte Algebren. Ist 2 in R invertierbar, so hat man daher kanonische Homomorphismen \(E(D,R)\to\mathrm{Tor}(R, R)\) und \(E(T_R)\to \mathrm{Ext}_s(R,R)\), wenn \(E\) die äußere Algebra eines Moduls bezeichnet. Es stellt sich heraus, daß \(E(D_R)\times E(T_R)\to\mathrm{Tor}^s(R,R)\times\mathrm{Ext}(R,R)\to R\) die natürliche Paarung ist, die zwischen der äußeren Algebra von \(D_R\) und der seines Duals \(T_R\) besteht.
Von Hochschild, Kostant und Rosenberg [G. Hochschild et al., Trans. Am. Math. Soc. 102, 383–408 (1962; Zbl 0102.27701)] wurde gezeigt, daß \(E(D_R)=\mathrm{Tor}^s(R, R)\) und \(E(T_R)=\mathrm{Ext}_s(R,R)\) ist, falls \(R\) eine reguläre affine Algebra über einem vollkommenen Körper \(K\) ist. Im Anschluß an dieses Ergebnis erhebt sich die Frage, ob man nicht schon auf \(\mathrm{Tor}^s(R, R)\) allgemein Operationen definieren kann, die den in \(E(D_R)\) definierten Operationen: äußere Differentiation, Lie-Derivation bezüglich einer \(K\)-Derivation \(\delta:R\to R\), Verjüngung bezüglich \(\delta\) entsprechen und im Spezialfall \(E(D_R)=\mathrm{Tor}^s(R, R)\) diese Operationen liefern. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß dies der Fall ist.
In der Arbeit von Hochschild, Kostant und Rosenberg [loc. cit.] wurde bewiesen, daß unter geeigneten Voraussetzungen über \(K\) und \(R\) die Kohomologie-Algebra des Komplexes \(\operatorname{Hom}_R(E(T_R), R)\) mit \(\mathrm{Ext}_{V_R}(A, R)\) identifiziert werden kann, wobei \(V_R\) ein geeignet konstruierter Ring ist. Verf. verallgemeinert dieses Ergebnis unter anderem für den Fall, daß \(B\) und \(K\) beliebige Ringe sind, wobei nur vorausgesetzt wird, daß \(T_R\) \(R\)-projektiv ist (z.B. wenn \(B\) der Ring der differenzierbaren Funktionen auf einer \(C^\infty\)-Mannigfaltigkeit ist).
Editorial remark (2021): The PBW theorem derived hier is not true in full generality, as explained in H. Ø. Maakestad [J. Algebra 463, 281–283 (2016; Zbl 1441.14065)].

Reviewer: E. Kunz

MSC:

17B56	Cohomology of Lie (super)algebras
17B62	Lie bialgebras; Lie coalgebras
17B70	Graded Lie (super)algebras

Keywords:

rings, modules, fields

Citations:

Zbl 0075.24305; Zbl 0102.27701; Zbl 1441.14065

References:

[1]	Henri Cartan and Samuel Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. · Zbl 0075.24305
[2]	P. Cartier, Dérivations dans les corps, École Norm. Sup., Paris, 1956, Exp. 13.
[3]	Jean-Claude Herz, Pseudo-algèbres de Lie. I, C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), 1935 – 1937 (French). · Zbl 0050.03201
[4]	G. Hochschild, Relative homological algebra, Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 246 – 269. · Zbl 0070.26903
[5]	G. Hochschild, Bertram Kostant, and Alex Rosenberg, Differential forms on regular affine algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 383 – 408. · Zbl 0102.27701
[6]	G. Hochschild and Alex Rosenberg, Operations on \?\?\? and \?\?\?, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 88 – 92. · Zbl 0104.24504
[7]	Irving Kaplansky, Projective modules, Ann. of Math (2) 68 (1958), 372 – 377. · Zbl 0083.25802 · doi:10.2307/1970252
[8]	Richard S. Palais, The cohomology of Lie rings, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1961, pp. 130 – 137.
[9]	Nobuo Yoneda, On the homology theory of modules, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. I. 7 (1954), 193 – 227. · Zbl 0058.01902