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Horn sentences in identity theory. (English) Zbl 0114.24502
Für die Theorie der Identität (Prädikatenlogik mit der Identität als einziger Prädikatenvariablen) beweist Verf. die Umkehrung eines Satzes von Horn, der besagt, daß die Klasse der Modelle bestimmter geschlossener Formeln (Horn-Formeln) abgeschlossen ist gegen die Bildung des direkten Produkts. Eine restringierte Horn-Formel ist eine geschlossene Formel in pränexer konjunktiver Normalform mit genau einem positiven Disjunktionsglied in jedem Konjunktionsglied.
Der Beweis des Verf. liegt im wesentlichen bei folgendem Lemma: Ist \(S\) eine gegen Multiplikation abgeschlossene Menge natürlicher Zahlen, die die 1 enthält und deren Komplement endlich und nicht leer ist, so läßt sich eine restringierte Horn-Formel angeben, die für alle \(k\in S\) \(k\)-zahlig gültig ist, aber nicht \(k_0\)-zahlig erfüllbar ist, falls \(k_0\), die größte nicht zu \(S\) gehörende Zahl ist.
Dieses Lemma (zusammen mit dem Satz von Horn) liefert neben einer Charakterisierung der Klassen der Modelle einer Horn-Formel auch eine der Klassen der Modelle einer abzählbaren Menge von Horn-Formeln, einer restringierten Horn-Formel und schließlich einer abzählbaren Menge restringierter Horn-Formeln.

MSC:
03B25 Decidability of theories and sets of sentences
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Full Text: DOI
References:
[1] On closure under direct product 23 pp 149– (1958)
[2] On sentences which are true of direct unions 16 pp 14– (1951) · Zbl 0043.24801
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