×

Décomposition des surmartingales. (French) Zbl 0116.35504

Sémin. Théorie Potentiel M. Brelot, G. Choquet et J. Deny 6 (1961/62), Exp. No. 11, 19 p. (1962).
On résoud d’abord le problème de la décomposition des surmartingales posé par Doob: \((Y_t)_{0\le t\le+\infty}\) étant une surmartingale standard relative à la famille continue à droite \((F_i)\) de tribus, pour qu’il existe un processus croissant intégrable \((A_t)_{0\le t\le +\infty}\) tel que, pour chaque \(t\), \(X_t = Y_t - E\{Y_\infty\vert F_t\} = E\{A_\infty\vert F_t\} - A_t\) p. s. il faut et il suffit que soit uniformément intégrable l’ensemble des \(X_T\) associés à tous les temps d’arrêt \(T\) de la famille \((F_t)\). La démonstration repose sur l’uniforme intégrabilité de la suite des processus croissants
\[ A_t^n = n \int_0^t (X_t - E\{X_{t+1/n}\vert F_t\}) \,dt\quad\text{(,,Laplaciens approchés'')}, \]
et sur le théorème de Dunford-Pettis qui assure la convergence faible d’une sous suite vers le processus \((A_t)\) cherché. On montre ensuite que la décomposition est unique sous la condition supplémentaire que
\[ E\{ \sum_{t\le \tau} (A_t - A_t^-) (Z_t - Z_t^-)\} = 0 \]
pour tout \(\tau\in R_+\) et toute martingale standard bornée \((Z_t)\), et que le processus construit satisfait cette condition en même temps que les \((A_t^n)\) \((n\in\mathbb N)\). On établit en outre, par un procédé du à Šur, que ce processus a ses trajectoires p. s. continues si et seulement si \(\lim_{n\to\infty} E\{X_{T_n}\} = E\{X_{T_\infty}\}\) pour toute suite croissante \((T_n)\) de temps d’arrêt (où \(T_\infty = \sup_n T_n)\).
Introduisant enfin la notion de temps d’arrêt totalement inaccessible, on montre que, si la famille \((F_t)\) est convenablement continue à droite, ces temps d’arrêt apparaissent comme les temps de discontinuité des martingales bornées, et on en déduit que la condition d’unicité peut aussi s’exprimer par la relation \(A_T = A_T^-\) p. s. pour tout temps d’arrêt totalement inaccessible \(T\).
Reviewer: P. Courrège

MSC:

60-XX Probability theory and stochastic processes
Full Text: Numdam EuDML