Théorie globale des connexions et des groupes d’holonomie. (French) Zbl 0116.39101

Lichnérowicz, André

Consiglio Nazionale delle Ricerche Monografie Matematiche. 2. Roma: Edizioni Cremonese; Travaux et recherches mathématiques. 2. Paris: Dunod. xv, 282 p. (1955).

Das Ziel dieses Buches, das aus Vorlesungen am Istituto di Alta Matematica in Rom im Jahre 1954 hervorgegangen ist, ist eine Darstellung derjenigen Probleme der Differentialgeometrie, die sich aus der Betrachtung von linearen Zusammenhängen in Faserbündeln ergeben, insbesondere in den zu einer Riemannschen oder Hermiteschen Mannigfaltigkeiten gehörenden Faserbündeln, als da sind die Untersuchung der zugehörigen Automorphismengruppe und ihr Zusammenhang mit der Holonomiegruppe. Es ist dies ein Gebiet, zu dessen Entwicklung Verf. in besonderem Maße beigetragen hat.
Da jedoch in den beiden ersten Kapiteln (und dann immer wieder auch in den weiteren Teilen des Buches) eine sehr gute Einführung der Grundbegriffe der modernen Differentialgeometrie gegeben wird, ist das Buch auch für alle diejenigen von großem Interesse, die diese Grundlagen kennenzulernen wünschen, zumal es nach dem Stand von 1961 keine andere Einführung in die moderne Differentialgeometrie gibt [wenn man einmal absieht von dem schmalen, und daher nicht sehr weit führenden Büchlein von K. Nomizu [Lie groups and differential geometry. Tokyo: The Mathematical Society of Japan (1956; Zbl 0071.15402)].
Es wäre dann aber noch zu bemerken, daß für eine ganze Anzahl fundamentaler Sätze keine Beweise angegeben sind, so daß jemand, der die neuere Differentialgeometrie aus diesem Buch zu lernen wünscht, noch andere Quellen zu studieren hat; besonders geeignet als Ergänzung dürfte das Buch von G. de Rham [Variétés différentiables. Paris: Hermann (1955; Zbl 0065.32401), English translation: Berlin etc.: Springer-Verlag (1984; Zbl 0534.58003)] sein.
In Kapitel III werden die Holonomiegruppen eingeführt, zu deren Untersuchung Verf. wesentlich beigetragen hat. Allerdings deuten die Ergebnisse von M. Berger [Bull. Soc. Math. Fr. 83, 279–330 (1955; Zbl 0068.36002)] darauf hin, daß im allgemeinen die Holonomiegruppe eines Raumes eine zu grobe Invariante ist, um etwas über die Struktur des Raumes auszusagen; anders ist dies nur bei homogenen Räumen.
In Kapitel IV werden die harmonischen Formen auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit eingeführt. Der Zerlegungssatz von Hodge wird (ohne Beweis) formuliert, und aus ihm werden eine Reihe von Folgerungen gezogen, z. B. über die Bettischen Zahlen, wenn gewisse Operatoren auf der Mannigfaltigkeit gegeben sind.
In dem letzten Kapitel, Kapitel V, wird der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit eingeführt. Wenn dafür die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, so ist die Mannigfaltigkeit, nach einem neueren Ergebnis von L. Nirenberg und A. Newlander [Ann. Math. (2) 65, 391–404 (1957; Zbl 0079.16102)], komplex. Mit diesem Ergebnis reduziert sich dann der vom Verf. in diesem Kapitel eingeführte Begriff „pseudokählersch“ auf den Begriff „kählersch“. Das Buch schließt mit Aussagen über die Bettischen Zahlen kählerscher Mannigfaltigkeiten.

Reviewer: Wilhelm Klingenberg (Göttingen)

MSC:

53-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53C05	Connections (general theory)
53C20	Global Riemannian geometry, including pinching
53C29	Issues of holonomy in differential geometry
53C43	Differential geometric aspects of harmonic maps
53C55	Global differential geometry of Hermitian and Kählerian manifolds
58E20	Harmonic maps, etc.

Keywords:

Riemannian manifolds; global theory of connections; holonomy groups; Betti numbers; Kähler manifolds; almost complex manifolds

Citations:

Zbl 0071.15402; Zbl 0065.32401; Zbl 0534.58003; Zbl 0068.36002; Zbl 0079.16102