Number theory. (Теория чисел.) (Russian) Zbl 0121.04202

Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R.

Moskva: Izdat. Nauka. 567 p. (1964).

Das vorliegende Buch ist der algebraischen Zahlentheorie gewidmet, unterscheidet sich jedoch wesentlich von vergleichbaren Lehrbüchern zum selben Thema. Es geht den Verff. weniger um eine methodenreine Errichtung des Gebäudes der algebraischen Zahlentheorie unter Betonung des algebraischen Gesichtspunktes [wie etwa in der bekannten ,,Zahlentheorie” von H. Hasse [Berlin: Akademie-Verlag (1949; Zbl 0035.02002) bzw. Berlin 1963, 1969)], sondern vielmehr um eine Einführung auch algebraisch noch ungeübter Leser in die Denkweise und Arbeitsmethoden der Zahlentheorie. Ausgehend von der Frage nach den Lösungen Diophantischer Gleichungen wird die Einführung jedes neuen Begriffs inhaltlich begründet. So finden sich denn auch in dem vorliegenden Werk zum großen Teil Sätze, die nicht in anderen Lehrbüchern der algebraischen Zahlentheorie behandelt werden. Daher enthält das Buch auch für den Fachmann viel Interessantes. Bei allen behandelten Problemen werden ausführliche Hinweise mit Literaturangaben und die weitere Entwicklung und den neuesten Stand der Fragestellung gegeben.
Im einzelnen enthält Kapitel I das Problem der Existenz von Lösungen von Polynomkongruenzen and deren Zusammenhang mit Diophantischen Gleichungen und \(p\)-adischen Zahlen. Dabei steht im Mittelpunkt die Frage der lokalen und globalen Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen und insbesondere das Lokal-Global-Prinzip von Legendre-Minkowski-Hasse.
In Kapitel II wird das Problem der Darstellbarkeit von ganzrationalen Zahlen durch zerlegbare, irreduzible, vollständige Formen mit Hilfe der Modultheorie in algebraischen Zahlkörpern behandelt. Dabei wird die Geometrie der Zahlen ausführlich entwickelt und der Einheiten-Satz für beliebige Ordnungen algebraischer Zahlkörper bewiesen. Weiter wird gezeigt, daß es möglich ist, ein System von Grundeinheiten und ein vollständiges System nicht assoziierter Zahlen mit gegebener Norm in endlich vielen Schritten zu berechnen. Nach dem Beweis der Endlichkeit der Klassenzahl für die Ideale beliebiger Ordnungen folgt eine ausführliehe Behandlung quadratischer Zahlkörper einschließlich der Komposition der Formen and der Berechnung der Klassenzahl mit Hilfe der Reduktionstheorie.
Das Kapitel III ist der Teilbarkeitslehre gewidmet. Zunächst wird an Hand des ersten Falls der Fermatschen Vermutung die Nützlichkeit der Arithmetik für die Theorie der Diophantischen Gleichungen demonstriert. Nach einigen Bemerkungen über Euklidische Ringe und die Existenz von Ringen ohne eindeutige Primfaktorzerlegung wird dann die Divisorentheorie in einer neuen Variante entwickelt. Zunächst wird axiomatisch der Begriff der Divisorentheorie für einen beliebigen Ring (ohne Nullteiler, mit 1) definiert und die Eindeutigkeit der Divisorentheorie für einen gegebenen Ring gezeigt. Danach wird bewiesen, daß eine Divisorentheorie durch Vorgabe eines Systems von diskreten Bewertungen mit gewissen Eigenschaften realisiert werden kann. Schließlich wird gezeigt, daß die ganzabgeschlossenen Hülle eines Integritätsbereichs \(\mathfrak O\) mit Divisorentheorie in einer beliebigen Erweiterung des Quotientenkörpers von \(\mathfrak O\) eine Divisorentheorie gestattet. Da zu jedem Ring mit eindeutiger Primelementzerlegung eine Divisorentheorie existiert, erhält man so z. B. auch für Funktionenkörper mehrerer Veränderlichen eine Divisorentheorie. Die Theorie wird dann spezialisiert auf Dekindsche Ringe und algebraische Zahlkörper und am Schluß des Kapitels wird die Zerlegung der Primdivisoren und die Geschlechtertheorie in quadratischen Zahlkörpern behandelt.
In Kapitel IV wird die Theorie der diskret bewerteten vollständigen Körper entwickelt und auf den Skolemschen Beweis für den Satz von Thue angewandt.
Kapitel V ist der analytischen Methode in der algebraischen Zahlentheorie gewidmet. Die analytische Klassenzahlformel wird allgemein abgeleitet und danach auf Kreisteilungskörper und quadratische Körper spezialisiert. Nach dem Dirichletschen Satz von den Primzahlen in einer arithmetischen Progression folgt das Kummersche Kriterium für die Regularität eines Kreisteilungskörpers \(K\) sowie der zweite Fall der Fermatschen Vermutung für reguläre Primzahlexponenten \(l\). Die beiden letzten Sätze werden nach D. K. Faddeev mit Hilfe von (unveröffentlichten) Betrachtungen im Körper \(K_{\fral l}\), der \(\mathfrak l\)-adischen Zahlen bewiesen, \(\mathfrak l\mid l\).
Am Schluß des Buches finden sich eine Reihe von Klassenzahltabellen. Zahlreiche Übungsaufgaben dienen teilweise zur Illustrierung und teilweise zum weiteren Ausbau des gebotenen Stoffes bis hin zu kleineren (unveröffentlichten) Originalarbeiten. Die zum Verständnis des Buches notwendigen algebraischen Vorkenntnisse sind sehr gering und überdies in einem Anhang zusammengestellt. Besonders die ersten drei Kapitel sind sehr breit geschrieben, ,,um das, was einfach ist, wirklich einfach erscheinen zu lassen”. An zahlentheoretischen Kenntnissen setzen die Autoren die Theorie der quadratischen Reste einschließlich des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Jacobi-Symbol voraus.

Reviewer: Helmut Koch (Berlin)

MSC:

11-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
13-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
11Rxx	Algebraic number theory: global fields
11Dxx	Diophantine equations
11Exx	Forms and linear algebraic groups
11Hxx	Geometry of numbers

Keywords:

algebraic number theory; existence of solutions of polynomial congruences; Diophantine equations; representation of integers by quadratic forms; local-global principle; divisor theory; Dedekind rings; prime divisors; genus theory; quadratic fields; discrete valued complete fields; Skolem’s proof of Thue’s theorem; analytic method in algebraic number theory; analytic class number formula; regularity of cyclotomic field; second case of Fermat’s conjecture for regular prime exponents