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Structure de certains pro-\(p\)-groupes. (French) Zbl 0121.04404

Sémin. Bourbaki 15 (1962/63), Exp. No. 252, 11 p. (1964).
Sei \(K\) eine endliche Erweiterung des Körpers \(\mathbb Q_p\) der rationalen \(p\)-adischen Zahlen vom Grade \(d\) und \(q\) die höchste Potenz von \(p\), so daß die \(q\)-ten Einheitswurzeln in \(K\) enthalten sired, \(q> 1\). Der Verf. gibt einen leicht abgeänderten Beweis für den Satz von Demushkin [Dokl. Akad. Nauk SSSR 128, 657–660 (1959; Zbl 0087.26703); Sib. Mat. Zh. 4, 951–955 (1963; Zbl 0131.27001)], wonach die Galoissche Gruppe \(G\) der maximalen \(p\)-Erweiterung \(\hat K\) von \(K\) eine Pro-\(p\)-Gruppe mit \(d+2\) Erzeugenden \(x_1,\dots,x_{d+2}\) and einer einzigen erzeugenden Relation ist, die für \(q\neq 2\) die Struktur \(x_1^q [x_1, x_2 ] \cdots [x_{d+1}, x_{d+2}] = 1\) hat. Außerdem zeigt der Verf., daß für \(q = 2\), \(2\nmid d\), die erzeugende Relation die Struktur \(x_1^2 x_2^4[x_2, x_3] \cdots [x_{d+1}, x_{d+2}] = 1\) hat. Es wird zunächst, ähnlich wie bei Demushkin, gezeigt, daß die Relation die Form \(x_1^2 x_2^{2^s} [x_2, x_3] \cdots [x_{d+1}, x_{d+2}]=1\) haben muß \((s = \infty, 0, 1, \dots)\). Um den Wert von \(s\) zu bestimmen, führt der Verf. eine neuartige Invariante ein, mit deren Hilfe gezeigt wird, daß verschiedene Werte von \(s\) verschiedene Gruppen ergeben und daß für \(G = G(\hat K/K)\) speziell \(s = 2\) ist.
In einem Anhang gibt der Verf. unveröffentlichte Ergebnisse von J. Tate wieder: Eine Pro-\(p\)-Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden und einer erzeugenden Relation, die im Sinne von Demushkin vollständig ist, wird als Demushkinsche Gruppe bezeichnet (der Verf. gibt eine kohomologische Definition). Jede Demushkinsche Gruppe \(G\) hat die kohomologische Dimension 2, d. h. \(H^m(G, A) = 0\) für \(m > 3\) und alle \(G\)-Torsionsmoduln \(A\). Jede offene Untergruppe \(H\) von \(G\) ist eine Demushkinsche Gruppe und es gilt \(n_H-2 = [G:H] (n_G-2)\), wobei \(n_G\) bzw. \(n_H\) der Rang von \(G\) bzw. \(H\) ist. Für \(p\neq 2\) war der letztere Satz auf Grund der Interpretation von \(G\) als Galoissche Gruppe bzw. Fundamentalgruppe (in Spezialfällen) schon früher bekannt, jedoch gibt der Verf. einen rein gruppentheoretisch-kohomologischen Beweis, wobei der Ausdruck \(2-n_G\) als Euler-Poincarésche Charakteristik für die Gruppen \(H^m(G,\mathbb Z/\mathbb Z_p)\) gedeutet wird.
Bemerkung 1. Die genannten Ergebnisse von Tate wurden vom Verf. ausführlich dargestellt in ,,Leçons sur la cohomologie galoisienne”, Collège de France 1963.
Bemerkung 2: Der Fall \(q = 2\), \(2\mid d\) bei der Berechnung der erzeugenden Relation von \(G\) wurde inzwischen von Demushkin erledigt [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 29, 3–10 (1965; Zbl 0131.27002)].

MSC:

11S15 Ramification and extension theory
11S25 Galois cohomology
Full Text: Numdam EuDML