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Commutative algebra. Vol. II. (English) Zbl 0121.27801
The University Series in Higher Mathematics. Princeton, N.J.-Toronto-London-New York: D. Van Nostrand Company, Inc. x, 414 p. (1960).
Der vorliegende zweite (und abschließende) Band des Werkes behandelt in systematischer Weise drei grundlegende Teilgebiete der Theorie der kommutativen Ringe und Körper, nämlich die Bewertungstheorie, die Theorie der Polynom- und Potenzreihenringe und die Theorie der lokalen Ringe. Auf die an sich schon sehr engen Beziehungen dieser Disziplinen zur algebraischen Geometrie wird besonderer Wert gelegt, so daß das Buch auch als Einführung in die Grundbegriffe der algebraischen Geometric dienen kann.
Bei einer Gegenüberstellung des behandelten Stoffs mit dem des ersten Bandes [Princeton etc.: van Nostrand (1958; Zbl 0081.26501)] kann gesagt werden, daß hier Untersuchungen komplizierterer Natur and größtenteils neueren Datums (häufig aus Originalarbeiten der Verff.) dargelegt werden, die an den Leser wesentlich höhere Anforderungen stellen. Es ist sehr zu begrüßen, daß trotzdem in der Form der Darstellung die bewährte Ausführlichkeit des ersten Bandes beibehalten wurde.
Das erste Kapitel des Buches (Kap. VI des Gesamtwerkes) ist der Bewertungstheorie gewidmet. Den Ausgangspunkt bildet das Problem, eine Spezialisierung (d. h. einen Homomorphismus mit primem Kern) eines Integritätsbereichs \(\mathfrak O\) auf möglichst große Unterringe eines festen Oberkörpers \(K\) von \(\mathfrak O\) fortzusetzen. Die Lösung des Problems durch den fundamentalen Fortsetzungssatz (Theorem \(5')\) führt auf die Begriffe der Stelle und des Bewertungsrings von \(K\). Erst nach einer vorläufigen Untersuchung der Stellen von \(K\) (besonders hinsichtlich Zusammensetzung, Zentrum auf einem gegebenen Unterring von \(K\) und Fortsetzung auf Oberkörper von \(K)\) wird der Begriff der Bewertung eingeführt und mit den eng verwandten Begriffen der Stelle und des Bewertungsrings in Beziehung gesetzt. Es folgen tiefergehende Untersuchungen über Bewertungen, wobei besonders auf die Theorie der Bewertungsfortsetzung auf endlich-algebraische Oberkörper hingewiesen sei (Diskussion der Gradformel \(\sum e_if_i=n\), Verzweigungsverhalten von Bewertungen). Diese Theorie ist die Verallgemeinerung entsprechender Untersuchungen über Dedekindsche Ringe, die im 1. Band dargelegt wurden. Kapitel VI schließt mit Anwendungen der Bewertungstheorie auf algebraische Funktionenkörper und allgemeiner auf Körper mit einem ausgezeichneten Unterring. Hierbei werden u. a. die Primdivisoren und die abstrakten Riemannschen Flächen (im Sinne von Zariski) besprochen.
In Kap. VII behandeln Verff. einige Typen von Ringen, welche für die geometrischen Anwendungen der kommutativen Algebra von besonderer Wichtigkeit sind: Potenzreihenringe, graduierte Ringe, Polynomringe und affine Ringe. Zunächst wird eine elementare Theorie der Potenzreihenringe entwickelt, die bis zum Weierstraßschen Vorbereitungssatz nebst einigen Anwendungen führt. Nach einem Abschnitt über die Idealtheorie graduierter Ringe folgt dann eine ausführliche Beschreibung der affinen und projektiven algebraischen Mengen. Hierbei sei besonders auf die verschiedenen Beweise des Hilbertschen Nullstellensatzes hingewiesen.
In den folgenden Abschnitten wird u. a. eine Methode zur Normalisierung endlich erzeugter homogener Ringe angegeben, mit deren Hilfe die Dimensionstheorie sowohl für affine Ringe als auch für Potenzreihenringe in einfacher Weise aufgebaut werden kann. Ferner verdienen die Ausführungen über die Hilbertsche charakteristische Funktion eines graduierten Moduls und über die Syzygientheorie graduierter und lokaler Ringe besondere Beachtung. Die Theorie der Hilbertfunktion wird im Kap. VIII in Gestalt der (Samuelschen) Übertragung auf lokale Ringe wieder aufgenommen und spielt dort bei den verschiedensten Anwendungen (Dimensionstheorie lokaler Ringe, Multiplizitätstheorie) eine große Rolle. Die Syzygientheorie wird mit elementaren Mitteln (d. h. ohne Verwendung des Begriffsapparats der homologischen Algebra) entwickelt. Grundlegend hierfür ist der folgende Äquivalenzbegriff: Zwei Moduln \(S\) und \(S'\) heißen äquivalent, wenn es freie Moduln \(L\) und \(L'\) gibt, so daß die direkten Summen \(L\oplus S\) und \(L'\oplus S'\) isomorph sind. Eine schöne Anwendung der Syzygientheorie wird in Anhang 7 dargelegt, nämlich der Auslander-Buchsbaumsche Beweis für die Primfaktorzerlegung in regulären lokalen Ringen. Für einen weiteren Ausbau der elementaren Syzygientheorie sei auf Kap. IV M. Nagata [Local rings. New York: Interscience Publishers (1962; Zbl 0123.03402)] verwiesen.
Kap. VIII gilt der Theorie der lokalen Ringe and verwandter Bereiche. Unter einem lokalen Ring (bzw. halblokalen Ring) verstehen Verff. einen kommutativen Noetherschen Ring mit Einselement, der nur ein einziges maxmiales Ideal (bzw. nur endlich viele maximale Ideale) besitzt. Die lokalen Ringe wurden 1938 vom Ref. unter der Bezeichnung ,,Stellenringe” eingeführt; mittlerweile scheint sich im deutschen Sprachgebrauch die Bezeichnung ,,lokale Ringe” durchgesetzt zu haben.
Die einleitenden Abschnitte von Kap. VIII enthalten Untersuchungen über Filtrierungen (meist bezüglich der Potenzen eines Ideals), Graduierungen. und Topologien sowie deren Beziehungen untereinander. Diese Untersuchungen erstrecken sich meist auf allgemeinere Ringtypen (beliebige kommutative Ringe, Noethersche Ringe, Zariskische Ringe). Es folgen speziellere Ergebnisse der lokalen Algebra, z. B. der Chevalleysche Satz über die Hausdorffschen Idealtopologien in vollständigen halblokalen Ringen, das Henselsche Lemma für vollständige lokale Ringe und die Theorie der Hilbertfunktion lokaler Ringe. Der Cohensche Struktursatz wird für den charakteristik-gleichen Fall behandelt; hierbei werden die Beweise von Geddes und Narita dargelegt. Ferner sei auf die Ausführungen über den Cohen-Macaulayschen Ungemischtheitssatz hingewiesen, die in Anhang 6 unter Verwendung des Begriffs der homologischen Codimension neu dargestellt und vertieft werden. Der Schluß von Kap. VIII enthält die komplizierten, aber für die algebraische Geometrie sehr wichtigen Untersuchungen von Zariski über die analytische Irreduzibilität und die analytische Normalität normaler geometrischer lokaler Ringe.
Zusammenfassend darf man feststellen: Der zweibändige ,,Zariski-Samuel” ist für die nächste Zukunft das Standard-Werk, um das kein fortgeschrittener Student herumkommt, der sich für die kommutative Algebra interessiert. Aber auch der Fachmann wird immer zur Orientierung über Einzelheiten gern auf das ausgezeichnete Buch zurückgreifen.

MSC:
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
13A18 Valuations and their generalizations for commutative rings
13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
13F25 Formal power series rings
13Hxx Local rings and semilocal rings
13J05 Power series rings