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On the generalized almost periodic functions with empty spectrum. (Sur les fonctions presque-périodiques généralisées dont le spectre est vide.) (French) Zbl 0126.09902

Verf. nennt eine Funktion \(f\) fastperiodisch im Sinne von Hartman (fp. H), wenn für jedes reelle \(\lambda\) \[ a_f(\lambda) = \lim_{Y\to\infty} \frac1Y \int_X^{X+Y} f(x) e^{-i\lambda x}\,dx \] existiert, und fastperiodisch im Sinne von Ryll-Nardzewski (fp. R), wenn dieser Grenzwert gleichmäßig in \(X\) \((-\infty < X < \infty)\) erreicht wird. Die Menge \(\{\lambda: a_f(\lambda) \ne 0\}\) heißt Spektrum von \(f\). \(H_0\) und \(R_0\), bezeichnen entsprechend die Menge der fp. H- (fp. R-) Funktionen mit leerem Spektrum. Man weiß, daß das Spektrum einer fp. H-Funktion nicht überabzählbar sein kann [J.-P. Kahane, Stud. Math. 21, 103–106 (1961; Zbl 0101.05903)], und daß bei der zusätzlichen Bedingung \[ \varlimsup_{Y\to\infty} \frac1{2Y} \int_{-Y}^Y \vert f\vert^p\,dx <\infty \] für ein \(p>1\) \(f\) als Summe einer fp. \(B^p\)-Funktion (im Sinne von Besicovitch) und einer Funktion aus \(H_0\) darstellbar ist [K. Urbanik, Stud. Math. 21, 93–102 (1961; Zbl 0101.09002)]. Es wird bewiesen:
1) ist \(g\) lokal integrierbar auf der reellen Achse, \(g_n\) die Teilfunktion von \(g\) im Intervall \([n, n+1]\) und \[ \int \vert g_n\vert = O(\vert n\vert^\alpha)\quad (n\rightarrow \pm\infty,\ \alpha<\tfrac12), \] so gehört für fast jede Wahl der Vorzeichenfolge die Funktion \(f = \sum_{-\infty}^\infty \pm g_n\) zu \(H_0\);
2) wenn \(g\) beschränkt ist, so gibt es eine Vorzeichenfolge, für welche \(g\) zu \(R_0\) gehört;
3) jede beschränkte und gleichmäßig stetige Funktion ist das Produkt von zwei beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen aus \(R_0\).

MSC:

42A75 Classical almost periodic functions, mean periodic functions
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