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Cohomologie galoisienne. Cours au Collège de France, 1962–1963. Seconde édition. (French) Zbl 0128.26303
Lecture Notes in Mathematics. Vol. 5. Berlin-Göttingen-Heidelberg-New York: Springer Verlag. viii, 214 p. (1964).
Ce livre, dedié à la cohomologie galoisienne et aux groupes profinis contient les leçons de l’A. au Collège de France; c’est le seul livre dans la littérature qui présente ces problèmes, dans la plus part dûes à J. Tate, l’A., Poitou. Le premier chapitre contient: des groupes profinis, la cohomologie de ces groupes, la dimension cohomologique, pro-\(p\)-groupes et \(p\)-groupes de Sylow, la cohomologie de pro-\(p\)-groupes. Le quatrième paragraphe de ce chapitre contient des remarques très intéréssantes au sujet de la conjecture de Shafarevich qui affirme que la différence \(r(G) - n(G)\), \(n(G)\) étant le nombre minimal de générateurs d’une groupe profini et \(r(G)\) le nombre der relateurs, tend vers l’infini avec \(n(G)\).
Il contient de même une lettre de J. Tate adressée à l’A., où sont présentés quelques théorèmes de dualité pour la cohomologie des groupes profinis.
Le deuxième chapitre s’occupe de la cohomologie galoisienne des corps de dimension \(\leq n\), des “théorèmes de transition”, des corps \(p\)-adiques et des corps algébriques.
Le troisième chapitre se caractérise, particulièrement par ses profonds implications des résultats antérieurs et ceux contenus dans ce chapitre pour les variétés algébriques groupes, homogènes, etc.
Dans le quatrième paragraphe de ce chapitre où sont énoncés les théorèmes de finitude, l’A. donne un exemple contraire pour le principe de Hasse. Sont énoncés aussi quelques conjectures (les unes ont été resolues – voir l’annexe – les autres restent encore ouvertes.)
À la fin du livre on a inclu comme supplement une éxposé de J. L. Verdier relativement à la dualité des groupes profinis.
Reviewer: D. Burghelea

MSC:
12G05 Galois cohomology
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
11R34 Galois cohomology
20J05 Homological methods in group theory
20E18 Limits, profinite groups
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