Properties of diffusion processes determined by a general lateral condition. (Eigenschaften der Diffusionsprozesse, welche durch eine Randbedingung allgemeiner Form bestimmt sind.) (Czech. Russian, German summaries) Zbl 0131.35203

Mandl, Petr

Čas. Pěst. Mat. 87, 31-51 (1962).

Zusammenfassung: Die Arbeit ist den Diffusionsprozessen auf der Halbgeraden \(\langle 0, \infty\rangle\) gewidmet, deren Übergangswahrscheinlichkeiten \(P(t, x; A)\) im Raume der auf dem Intervalle \(\langle 0, \infty\rangle\) stetigen Funktionen eine Halbgruppe von Transformationen \(\int P(x, t; dy) F(y)\) definieren, deren infinitesimaler Operator eine Verengung des Operators \(\Omega_1F=d^2F/dx^2 + b(x) (dF/dx)\) durch die Bedingung
\[ p\, F(0) = q\, F(\infty) + \tau\,\int_{0+}^\infty F(x)\, dp(x) - \sigma\,\Omega_1 F(x)|_{x=0} + \gamma\, F'(0)\tag{2} \] darstellt. Hier sind \(p, q, \sigma,\gamma, \tau\) nichtnegative Zahlen, \(p(x)\) ist eine Verteilungsfunktion. Die Existenz solcher Prozesse wurde von W. Feller in der Arbeit [Ann. Math. (2) 55, 468–519 (1952; Zbl 0047.09303)] bewiesen.
In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, auf welche Weise hängt das Grenzverhalten, für \(t\to\infty\) der Wahrscheinlichkeiten \(P(t, x; A)\) von dem Koeffizienten \(b(x)\) in dem Operator \(\Omega_1\) und von der Bedingung (2) ab. Es sind zum Beispiel folgende Sätze bewiesen:
Satz 5. Es sei \(p =\tau\neq 0\). Für die Konvergenz des Wahrscheinlichkeitsmaßes \(P(t, x; A)\) auf dem Intervalle \(\langle 0, \infty\rangle\) zu einem Wahrscheinlichkeitsmaße im Sinne der Konvergenz der Verteilungsfunktionen für \(t\to\infty\) ist notwendig und hinreichend, daß
\[ \int_0^\infty\left(\int_0^xe^{-B(xy}\int_y^\infty e^{B(s)}\,ds\,dy \right) \,dp(x) < \infty, \] wo \(B(y) =\int_0^y b(s)\,ds\).
Satz 9. Es sei \(\tau=p=q=0\), \(\int e^{B(x)} \,dx <\infty\). Dann strebt für jede Anfangsverteilung, welche im Innern von \((0, \infty)\) absolut stetig ist, die Dichte der Verteilung in diesem Intervalle für \(t\to\infty\) im Mittel gegen die Funktion \[ \gamma\left(\sigma+\gamma\int_0^\infty e^{B(s)}\,ds\right)^{-1}e^{B(x)}. \]

MSC:

60J60

Diffusion processes

Keywords:

diffusion processes

Citations:

Zbl 0047.09303