A topological measure construction. (English) Zbl 0133.00105

Bledsoe, W. W.; Morse, A. P.

Pac. J. Math. 13, 1067-1084 (1963).

Die Verff. verallgemeinern die in metrischen Räumen und auch in lokalkompakten Hausdorffschen Räumen wohlbekannte Theorie der regulären Maßfunktionen auf allgemeinere topologische Räume. Die Hauptergebnisse lauten folgendermaßen. Es sei \(\varphi\) ein äußeres Maß auf dem topologischen Raum \(S\) mit der Eigenschaft, daß es für \(C\subset B\subset S\), \(C\) abgeschlossen, \(B\) offen, \(T\subset S\), \(\varphi(T) < \infty\) und \(\varepsilon > 0\) eine offene Menge \(D\) und eine abgeschlossene Menge \(C'\) gibt mit \(C'\subset C\cap D\), \(\overline D\subset B\) and \(\varphi (C\cap T)\leq \varphi(C' \cap T)+\varepsilon\). Dann sind die folgenden Aussagen equivalent:
(1) Für \(\overline A\cap \)B = \emptyset\( gilt \)\varphi(A\cup B) = \varphi(A) + \varphi(B),
(2) jede offene \(F_\sigma\)-Menge ist \(p\)-meßbar.
Diese Bedingungen sind insbesondere erfüllt, wenn die Topologie regulär und \(\varphi\) folgendermaßen definiert ist. Es seien \(H\) ein System von Teilmengen von \(S\) und \(g\) eine auf \(H\) definierte nichtnegative Mengenfunktion. Für jede offene Überdeckung \(F\) von \(S\) setzen wir \[ \varphi_F(A) = \inf \{\sum_i^\infty g(B_i): B_i\in H,\;A\subset \bigcup_1^\infty B_i,\;B_i\subset C_i\in F\} \] für \(A\subset S\), und wir bezeichnen mit \(\varphi(A)\) die obere Grenze von \(\varphi_F(A)\), wenn \(F\) alle offenen Überdeckungen von \(S\) durchläuft.

Reviewer: Á. Császár

MSC:

28-XX

Measure and integration

Keywords:

measure theory