Additive groups with prescribed Hausdorff dimension. (Additive Gruppen mit vorgegebener Hausdorffscher Dimension.) (German) Zbl 0135.10202

Erdős, Pál; Volkmann, B.

J. Reine Angew. Math. 221, 203-208 (1966).

Die Verf. untersuchen die folgenden beiden Fragen: 1. Gibt es zu einer vorgegebenen Zahl \(\alpha\) \((0 < \alpha < 1)\) immer eine (additive) Gruppe reeller Zahlen, deren Hausdorffsche Dimension gleich \(\alpha\) ist? 2. Sei \(H\) eine additive Gruppe reeller Zahlen mit \(\text{dim}H = 1\). Besitzt \(H\) zu vorgegebenem \(\alpha\) \((0 < \alpha < 1)\) eine Untergruppe \(U\) mit \(\text{dim}U=\alpha\)? Die Frage 1, die für reelle Zahlkörper statt Gruppen nach wie vor ungelöst ist, wird durch Konstruktion von Beispielen positiv beantwortet und in folgender Weise verallgemeinert: Ist \(F\) eine Schar von Maßfunktionen mit gewissen Eigenschaften und \(n\) eine natürliche Zahl, dann gibt es immer Untergruppen \(U\) des \(n\)-dimensionalen reellen Raumes, deren Dimension bezüglich \(F\) einen vorgegebenen \(n\)-dimensionalen reellen Raum, deren Dimension bezüglich \(F\) einen vorgegebenen Wert hat. Durch Konstruktion (Verwendung der Kontinuumshypothese) einer Gruppe reeller Zahlen, die positives äußeres Lebesguesches Maß besitzt, deren sämtliche Untergruppen vom Maß 0 aber abzählbar sind, wird gezeigt, daß Frage 2 im allgemeinen verneint werden muß. Jedoch vermuten die Verff. eine positive Antwort für den Fall, daß \(H\) eine Borelmenge ist.

Reviewer: H.Wegmann

MSC:

11B99	Sequences and sets
28A78	Hausdorff and packing measures

Keywords:

number theory