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Instability of dynamical systems with several degrees of freedom. (English. Russian original) Zbl 0135.42602

Sov. Math., Dokl. 5, 581-585 (1964); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 156, 9-12 (1964).
Le progrès réalisé dans la théorie des perturbations en partant des travaux de A. N. Kolmogorov [Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 98, 527–530 (1954; Zbl 0056.31502)] et l’A. [Russ. Math. Surv. 18, No. 5, 9–36 (1963; Zbl 0129.16606); translation from Usp. Mat. Nauk 18, No. 5(113), 13–40 (1963)] a permis de trouver des solutions quasi-périodiques pour beaucoup de systèmes non linéaires proches des systèmes intégrables. La stabilité peut être déduite de ces résultats si la dimension de l’éspace de phase est \(\le 4\). Dans cette note on indique un exemple, où le système satisfait les conditions de Kolmogorov mais qui est instable, la dimension de l’espace de phase est ici 5. Le système est \[ \dot \varphi_1 = I_1,\ \dot \varphi_2 = I_2, \] \[ \dot I_1 = \varepsilon \sin \varphi_1 [1+\mu[\sin \varphi_2 + \cos t)], \dot I_2 = \varepsilon (1-\cos\varphi_1) \mu \cos\varphi_2. \] On prouve le théorème suivant: soient \(0 < A < B\); pour tout \(\varepsilon > 0\) il y a \(\mu_0 > 0\) tel que pour \(0 < \mu < \mu_0\), il existe une trajectoire qui réunit le domaine \(I_2 < A\) avec \(I_2 > B\) (ce qui montre que le système est instable).

MSC:

70H14 Stability problems for problems in Hamiltonian and Lagrangian mechanics
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