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Universal algebra. (English) Zbl 0141.01002

Harper’s Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row, Publishers. xv, 333 p. (1965).
Algebraische Strukturen \((\Omega\)-Algebren) und Relationenstrukturen (Modelle), also Mengen mit Operationen und solche mit Relationen, bilden den Gegenstand der universalen Algebra. Sie umfaßt damit die Strukturen der klassischen Algebra (Gruppen, Ringe, Verbände usw.) und erscheint als deren natürliche Verallgemeinerung. Zu den Grundlagen der universalen Algebra gehören mathematische Logik, Mengenlehre, Verbandstheorie, Kategorientheorie und Topologie. Das Ziel der universalen Algebra ist es, den Grad der Allgemeingültigkeit algebraischer Prinzipe evident zu machen und mit der Errichtung einer systematischen Theorie der gegenwärtigen Tendenz der Algebraisierung vieler Teilgebiete der Mathematik und den dadurch aufgeworfenen Fragen Rechnung zu tragen. Die für die Algebra zwar immer noch als charakteristisch angesehene Beschränkung auf finitäre Operationen und Relationen dürfte nach und nach fallen. Nur geringe Änderungen des Aufbaus wären nötig, um auch den Fall von Mengen zu erfassen, in denen zugleich (finitäre) Operationen und Relationen erklärt sind. Das vorliegende Buch, das besonders von Vorlesungen beeinflußt wurde, die Philip Hall in Cambridge 1947–1951 gehalten hat, soll den Leser mit den einfachsten grundlegenden Resultaten aus der universalen Algebra vertraut machen, ohne dabei Vollständigkeit oder Allgemeinheit um jeden Preis anzustreben. Der Stoff wird an einer Fülle von Beispielen erläutert und ergänzt; gleichzeitig wird damit deutlich, in welcher Weise sich klassische Resultate der Algebra dem allgemeinen Programm einfügen. So erscheint auch “the text suitable for beginning graduate students”.
Inhalt:
Chap. I. Sets and mappings (The axioms of set theory, correspondences, mappings and quotient sets, ordered sets, cardinals and ordinals, categories and functors).
Chap. II. Algebraic structures (Closure systems, 9-algebras, the isomorphism theorems, lattices, the lattice of subalgebras, the lattice of congruences, local and residual properties, the lattice of categories of 9-algebras).
Chap. III. Free algebras (Universal functors, [2-word algebras, clones of operations, representations in categories of [2-algebras, free algebras in categories of 9-algebras, free and direct compositions of 9-algebras, derived operators, presentations of S?-algebras, the word problem).
Chap. IV. Varieties (Definition and basic properties, free groups and free rings, the generation of varieties, representations in varieties of algebras).
Chap. V. Relational structures and models (Relational structures over a predicate domain, Boolean algebras, derived predicates, closed sentence classes and axiomatic model classes, ultraproducts and the compactness theorem, the model space).
Chap. VI. Axiomatic model classes (Reducts and enlargements, the local determination of classes, elementary extensions, \(p\)-closed classes and quasivarieties, classes admitting homomorphic images, the characterization of axiomatic model classes).
Chap. VII. Applications (The natural numbers, abstract dependence relations, the division problem for semigroups and rings, the division problem for groupoids, linear algebras, Lie algebras, Jordan algebras),
Bibliography.
Der Text des Buches ist fesselnd geschrieben. Die Stoffauswahl dürfte für das Programm der universalen Algebra in weitem Umfange charakteristisch sein. Einzelne Ungenauigkeiten bei den Definitionen und gelegentliche Lücken in den Beweisen erschweren teilweise das Verständnis, fallen aber im ganzen doch wohl nicht sehr ins Gewicht und dürften im allgemeinen vom Leser selbst behoben werden können. (Ein Beispiel: Auf p. 234, Z. 6, sollte es \(Q^{(k)}\in \Sigma^{**}\) anstatt \(Q^{(k)}\in \Sigma\) heißen.) Eine Vermehrung der Zitate wäre hierbei immerhin eine Hilfe. Angesichts der Aktualität des behandelten Themas dürfte sich Verf. mit diesem Buch außerordentliche Verdienste erworben haben.
Reviewer: H. J. Hoehnke

MSC:

08-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to general algebraic systems