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Multiple integrals in the calculus of variations. (English) Zbl 0142.38701
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 130. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. xii, 506 p. (1966).
Mit dem vorliegenden Werk ist innerhalb von vier Jahren bereits ein zweites umfangreiches Lehrbuch zur Variationsrechnung in der Reihe der „Grundlehren“ erschienen. Während das erste [P. Funk, Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Grundlehren Bd. 94. Berlin etc.: Springer-Verlag (1962; Zbl 0119.09101)] mehr eine Gesamtübersicht dieser mathematischen Disziplin und ihrer Anwendungsbereiche zu vermitteln sucht, wendet sich dieser neue Band 130 einem bewußt begrenzten, dafür aber bis in alle Tiefe sorgfältigst verfolgten Teilproblem zu: „Die Existenz und Differenzierbarkeit von Lösungen zu Variationsproblemen mehrfacher Integrale ohne Nebenbedingungen“.
Unter Beschränkung auf vorwiegend Dirichletsche Randwertaufgaben gibt der Verf. in einer einführenden Betrachtung zunächst einen kurzen Abriß klassischer und halbklassischer Resultate zur Variationsrechnung (Kapitel 1) und Potentialtheorie (Kapitel 2) sowie Grundzüge der direkten Methoden der Variationsrechnung und der sich darauf aufbauenden Beweistechnik zu Existenz- und Differenzierbarkeitstheoremen. Die Basis dieser Untersuchungen bildet ein ausführliches Studium der Sobolevschen Räume und die Aufstellung einer Reihe bedeutsamer Abschätzungen und Einbettungssätze (Kapitel 3). In diesen Räumen werden im Kapitel 4 für sehr allgemeine, also auch nichtquadratische Grundfunktionen \(f(t^\alpha, x^i, x_{l^\alpha}^i)\) unter verschiedenen analytischen Voraussetzungen weitreichende Unterhalbstetigkeitskriterien hergeleitet und damit schwache Lösungen des entsprechenden Variationsproblems nachgewiesen.
In Verallgemeinerung bekannter Regularitätstheoreme von DeGiorgi, Nash und Moser vermag der Verf. im Kapitel 5 für den Fall einer gesuchten Funktion die Differenzierbarkeitseigenschaften der nachgewiesenen schwachen Lösungen vollständig zu klären. Bei mehreren gesuchten Funktionen sind vorerst entsprechende Resultate nur unter zusätzlichen apriori-Annahmen über die Lösung zu erhalten. Gleichzeitig werden Fragen der Analytizität der Lösungen und ihr Verhalten auf dem Rande des Gebietes erörtert sowie eine kurze Darlegung entsprechender Theorien von Ladyzhenskaya und Ural’tseva über beschränkte schwache Lösungen. Im Kapitel 6 finden diese Untersuchungen eine Erweiterung mit der Behandlung linearer und nichtlinearer Randwertprobleme zu allgemeinen elliptischen Differentialgleichungssystemen höherer Ordnung im Sinne einer Modifikation der von Agmon, Douglis und Nirenberg geschaffenen Theorie (vgl. S. Agmon et al. [Commun. Pure Appl. Math. 12, 623–727 (1959; Zbl 0093.10401)]).
Bei all diesen Ausführungen verzichtet der Verf. absichtlich auf jede Erläuterung am Beispiel oder auf die Diskussion von Variationsproblemen der mathematischen Physik, um eine möglichst geschlossene und übersichtliche Darstellung des rein analytischen Sachverhalts zu erreichen. Dafür werden jedoch als Anwendungsbereiche die folgenden Probleme eingehend behandelt: die Übertragung der Varia-tionsmethoden auf die Theorie harmonischer Integrale (Kapitel 7), das \(\bar\delta\)-Neumann-Problem äußerer Differentialformen auf streng pseudo-konvexen Mannigfaltigkeiten im Kapitel 8 (vgl. hierzu auch J. J. Kohn und D. C. Spencer [Ann. Math. (2) 66, 89–140 (1957; Zbl 0099.30605)]) und nach einer Einführung in die Theorie mehrdimensionaler Variationsprobleme in Parametergestalt und des zweidimensionalen Plateauschen Problems (Kapitel 9) das höherdimensionale Plateausche Problem und seine Erweiterung auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten (Kapitel 10).
Ein umfangreiches, wenn auch nicht erschöpfendes Literaturverzeichnis zum vorliegenden Gegenstand bildet neben einem Sachregister den Abschluß dieses bedeutenden Werkes. In seiner Form ist es gegenwärtig die umfassendste lehrbuchmäßige Darstellung der Theorie elliptischer Differentialgleichungen und der Existenzprobleme der Variationsrechnung. In seinem Inhalt ist es zugleich ein Dokument der hohen schöpferischen Leistungen – nicht zuletzt auch der des Verf. selbst –, die seit über einem Vierteljahrhundert die vorliegenden Theorien vervollkommnet haben. Dem Leser wird die Mühe, die er dem Studium dieses Buches zuwendet, mit einem großen fachlichen Gewinn und mannigfaltigen Anregungen vergütet.
Reviewer: Rolf Klötzler

MSC:
49-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to calculus of variations and optimal control
35-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to partial differential equations
49J10 Existence theories for free problems in two or more independent variables
49J45 Methods involving semicontinuity and convergence; relaxation
35Jxx Elliptic equations and elliptic systems