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On a duality between gradations and automorphisms of algebras. (English) Zbl 0144.27401

Die vom Autor in [J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I 10, 147–195 (1964; Zbl 0125.01601)] eingeführten Algebrenerweiterungen einer endlichen abelschen Gruppe \(\mathfrak H\) über einem Körper \(K\) werden weiter untersucht. Sei \(\Gamma\) eine weitere endliche abelsche Gruppe. Eine reguläre \(\Gamma\)-Aktion auf einer halbeinfachen \(K\)-Algebra \(\mathcal A\) ist ein Monomorphismus \(\Gamma\to\operatorname{Aut}_K(\mathcal A)\) \((= \) die Gruppe der \(K\)-Algebren-Automorphismen von \(\mathcal A)\), so daß die Unteralgebren \(K\cdot 1\), \(\mathcal B(\mathcal A)\) \((= \) die Unteralgebra, die von den Identitäten aller einfachen Komponenten von \(\mathcal A\) erzeugt wird) and \(\mathcal C(\mathcal A)\) \((= \) das Zentrum von \(\mathcal A)\) jeweils genau aus allen Elementen von \(\mathcal A\) bestehen, die bei der Operation einer Untergruppe von \(\Gamma\) fest bleiben. Sei ein Monomorphismus \(f: \mathfrak H\otimes\Gamma\to K^*\) \((= \) die multiplikative Gruppe von \(K\)) gegeben. Dann existiert eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Algebrenerweiterungen \(\mathcal A=\sum_{H\in\mathfrak H} \mathcal A_H\) von \(\mathfrak H\) über \(K\) und den regulären \(\Gamma\)-Aktionen auf halbeinfachen \(K\)-Algebren \(\mathcal A\) vermöge \(\gamma(a) =\sum_{H\in\mathfrak H} f(H\otimes \gamma)a_H\), \(\gamma\in\Gamma\), bzw. \(\mathcal A_H = \{a\in\mathcal A\mid \gamma(a) = f(H\otimes \gamma)a\) für alle \(\gamma\in\Gamma\}\), \(H\in\mathfrak H\). Ist \(K\) \(\mathfrak H\)-zyklisch (loc. cit.) und sind \(\mathfrak M\subset \mathfrak N\) Untergruppen von \(\mathfrak H\), dann existiert eine Algebrenerweiterung \(\mathcal A\) von \(\mathfrak H\) über \(K\) mit \(\mathcal B(\mathcal A) = \sum_{M\in\mathfrak M} \mathcal A_M\), \(\mathcal C(\mathcal A)= \sum_{N\in\mathfrak N} \mathcal A_N\) genau dann, wenn \(\mathfrak H/\mathfrak N\) direktes Produkt von zwei isomorphen Untergruppen ist und wenn \(\oeverline{K}^*/K^*\) eine zu \(\mathfrak N/\mathfrak M\) isomorphe Untergruppe enthält. \(\overline K\) ist dabei der algebraische Abschlußvon \(K\). Beziehungen zur Kummerschen Theorie werden verwendet.

MSC:

16-XX Associative rings and algebras

Citations:

Zbl 0125.01601
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