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Weyl’s exponential sums in recent number theory. (Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie.) (German) Zbl 0146.06003
Mathematische Forschungsberichte. 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. 231 S. (1963).
Hier wird ein wichtiges Buch vorgelegt. Es enthält neben vielem anderen einen Beweis für die bisher beste Abschätzung des Fehlergliedes beim Primzahlsatz; diese entstand durch eine Kritik von Richert (1960) an Behauptungen und Überlegungen von I. M. Vinogradov und Korobov (1958). Wir geben eine knappe Inhaltsangabe.
Das Buch befaßt sich in erster Linie mit Exponentialsummen (oder trigonometrischen Summen), die ja ein wichtiges Hilfsmittel in der analytischen Zahlentheorie sind. Seit den grundlegenden Arbeiten von Weyl (seit 1914) ist diese Methode wiederholt verfeinert worden, vor allem durch Vinogradov und Hua. Kapitel 1 bringt das Weylsche Verfahren, angewandt auf endliche Summen der Gestalt \(\sum_m e(\tfrac t{m+w})\) und \(\sum_m (m+w)^{ti}\) mit \(e(z):=e^{2\pi iz}\). Im Hinblick auf nachfolgende Verfeinerungen dieses Verfahrens folgt ein Satz von Hua über die Lösungsanzahl von Systemen Diophantischer Gleichungen \[ n_1^j +\ldots + n_c^j- n_{c+1}^j -\ldots - n_{2c}^j= h_j\quad (j=1,\ldots, r),\text{mit}\;1\leq n_k< Z\;(k = 1, \ldots, 2c). \]
Kapitel 2 enthält diese Verfeinerungen und zwar nach Vinogradov und Korobov. In den noch folgenden 3 Kapiteln werden viele interessante Anwendungen gegeben; wir erwähnen nur die wichtigsten. Mit \(\psi(t):=t-[t]-\tfrac 12\) wird in Kapitel 3 bewiesen
\[ \sum_{n<x}\tfrac 1n \psi(\tfrac xn)= O\left((\log x)^{2/3}\right); \]
daraus wird (unter anderem)
\[ \sum_{n<x}\sum_{d\mid n}=\frac{\pi^2}{12}x^2 + O\left(x \log x)^{2/3}\right) \] hergeleitet. In Kapitel 4 wird bewiesen
\[ \sum_{n<x}\frac{\mu(n)}{n}\psi\left(\frac xn\right)= O\left((\log x)^{2/3} (\log \log x)^{4/3}\right); \]
daraus wird
\[ \sum_{n<x} \varphi(n)=\frac 3{\pi^2}x^2+O\left((x (\log x)^{2/3} (\log \log x)^{4/3}\right) \]
hergeleitet; dabei bezeichnen \(\mu\) bzw. \(\varphi\) die Funktionen von Möbius bzw. Euler. Im Kapitel 5 wird für die Riemannsche Zetafunktion schließlich \(\zeta(1+ ti)= O\left((\log t)^{2/3}\right)\) gezeigt und der eingangs erwähnte Primzahlsatz in der Gestalt
\[ \pi(x)= \mathrm{li}\,x + O\left(x e^{-A\omega(x)}\right)\quad\text{mit }A > 0\; \text{und }\omega(x):=(\log x)^{3/5} (\log \log x)^{1/5} \]
bewiesen. Das Buch ist vorbildlich klar geschrieben und übersichtlich aufgebaut. An Vorkenntnissen sind die üblichen Anfängervorlesungen über Analysis und Zahlentheorie ausreichend.
Reviewer: G. J. Rieger

MSC:
11L15 Weyl sums
11L03 Trigonometric and exponential sums (general theory)
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
11N05 Distribution of primes