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Tangents to an analytic variety. (English) Zbl 0152.27701
Die vorliegende Untersuchung lokaler Differenzierbarkeitseigenschaften reduzierter komplexer Räume (,,analytic varieties” bei Whitney) hat Beziehungen zu einer früheren Arbeit (des Verf.) [Differ. and Combinat. Topology, Sympos. in honor of Marston Morse, Princeton Univ. Press, 205–244 (1965; Zbl 0129.39402)], ist aber eine in sich geschlossene Darstellung mit vielen Beispielen und Ergebnissen, von denen hier nur die wichtigsten erwähnt werden können.
In Teil I werden Grundbegriffe und im wesentlichen bekannte Ergebnisse über komplexe Räume, holomorphe Abbildungen, Modifikationen des \(\mathbb C^n\) (Hopfsche \(\sigma\)-Prozesse) usw. zusammengestellt.
Teil II betrifft Tangentialvektoren eines komplexen Unterraumes \(V\), insbesondere Tangentenkegel \(C(V,p)\) von \(V\) in Punkten \(p\) von \(V\). Dabei ist \(C(V,p)\) definiert als Menge von Vektoren \(v\in \mathbb C^n\) derart, daß es Folgen \(\{p_i\}\) von Punkten \(p_i\in V\) mit \(p_i\to p\) und Folgen \(\{a_i\}\) komplexer Zahlen \(a_i\) mit \(a_i (p-p_i)\to v\) gibt. Diese Kegel sind abgeschlossen und algebraisch. Unter Benutzung von Modifikationen wird gezeigt, daß \(C(V,p)\) dieselbe Dimension wie \(V\) in \(p\) hat. Dabei ist der Teil der Modifikation über \(p\) gleich dem projektiven Tangentenkegel \(C^*(V, p):= \kappa(C(V,p))\) von \(V\) in \(p\); \(\kappa(v)\) ist hierbei das einem \(v\in\mathbb C^n\) im projektiven Raum \(P^{n-1}\) des \(\mathbb C^n\) entsprechende Element, wobei \(P^{n-1}\) der Menge der Geraden im \(\mathbb C^n\) in natürlicher Weise zugeordnet ist. In einem einfachen Punkt ist \(C(V,p)\) gleich dem Tangentialraum von \(V\) in \(p\). Ist \(V\) in \(p\) irreduzibel, so ist \(C^*(V,p)\) zusammenhängend (aber nicht notwendig irreduzibel, wie ein einfaches Beispiel zeigt). Holomorphe Abbildungen \(f: V\to W\) von \(V\) in einen komplexen Raum \(W\) induzieren Abbildungen der Tangentenkegel; es gilt \(df(p) C(V,p)\subset (W,q)\), und Bedingungen für Surjektivität werden angegeben. Bewiesen wird weiter der klassische Satz, daß sich \(C(V,p)\) definieren läßt durch das Verschwinden der Glieder niedrigsten Grades in der Reihenentwicklung (in \(p\)) der Funktionen des Ideals, das den Keim von \(V\) in \(p\) definiert. Anschließend wird gezeigt, daß sich die Tangentenvektoren von \(V\), die durch Punktfolgen definiert sind, auch vermöge differenzierbarer Kurvenstücke definieren lassen.
Dann beginnt eine Untersuchung von \(V\) in der Umgebung einer Untervarietät, die in \(V\) liegt. Einer solchen Untervarietät \(M\subset V\) läßt sich ein komplexer Unterraum \(K_M(V)\) der Dimension \(\dim V\) derart zuordnen, daß \(M\) die Basis und jede Faser ein algebraischer Kegel ist. Für \(m = \dim M < \dim V\) kann man eine gewisse reell-differenzierbare reell-\(2m+1\)-dimensionale Untervarietät \(B\), \(M\subset B\subset V\), einführen, die sich von einer offenen Menge von \(M\) aus in \(V\) hinein erstreckt und vom Verf. Flügel (wing) genannt wird.
Teil III der Arbeit betrifft Tangentialräume \(T(V,p)\) und ,,Stratifikationen” komplexer Räume \(V\). Wichtig ist es dabei, aus diesen Tangentialräumen und ihren Grenzelementen, die sieh aus \(T(V,q_i)\) für \(q_i \to q\) \((q_i\) einfach, \(q\) singulär) ergeben, einen komplexen Raum \(\tau^*(V)\) zu bilden. Dies läßt sich tun unter Benutzung der Existenz holomorpher Vektorfelder, die alle Tangentialräume in allen einfachen Punkten in einer Umgebung von \(p\) definieren. Eine Stratifikation von \(V\) ist eine Zerlegung von \(V\) in Varietäten derart, daß für jede solche Varietät \(M\) die Abschließung \(\overline M\) ein komplexer Unterraum ist, dessen einfache Punkte gerade \(M\) ausmachen, und daß \(\overline M\) die Vereinigung der Varietäten der Zerlegung ist, die mit \(\overline M\) nichtleeren Durchschnitt haben. Der Begriff der Stratifikation wurde schon in der oben erwähnten Arbeit eingeführt, kritisiert und verfeinert zum Begriff der ,,regulären Stratifikation”. Mittels des Satzes von Remmert und Stein werden hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß eine aus Varietäten bestehende lokalendliche Zerlegung von \(V\) eine Stratifikation von \(V\) ist. Jeder komplexe Raum hat eine reguläre Stratifikation. Jede Stratifikation hat eine reguläre Verfeinerung. Die Arbeit schließt mit einigen Bemerkungen über Singularitätenmengen und Anwendungen.

MSC:
32Cxx Analytic spaces
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