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Lineare Differentialtransformationen 2. Ordnung. (German) Zbl 0153.11201
Hochschulbücher für Mathematik. Band 67. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. xiv, 218 S. (1967).
Es handelt sich um eine Transformationstheorie für gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung im Reellen, bei der man untersucht, wie sich Variablentransformationen und damit zusammenhängende Vorgänge auf Lösungen auswirken, also um Fragen, die zuerst von E. E. Kummer (1834) und dann später von Laguerre, Brioschi, Halphen, Forsyth, Lie und anderen behandelt wurden. Die vorliegende Gestalt verdankt die Theorie neueren Arbeiten von E. Barvinek, Verf., M.Greguš, Z. Hustý, M. Laitoch, F. Neuman, M. Ráb, V. Šeda und anderen. Diese Theorie ist qualitativ und global und stützt sich wesentlich auf neue Begriffe. Sie hat 2 Teile:
1. Die „Dispersionstheorie“ betrifft oszillatorische Differentialgleichungen. Sie beruht auf dem Begriff der Zentraldispersion und umfaßt eine konstruktive Integrationstheorie der Kummerschen Differen-tialgleichungen.
2. Die „allgemeine Transformationstheorie“ untersucht Eigenschaften von Lösungen der Kummerschen Differentialgleichung im Zusammenhang mit Transformationen bei linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung.
Demgemäß gliedert sich das Buch, wie folgt:
I. Grundlagen: A. Allgemeine Eigenschaften gewöhnlicher homogener linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung (u.a. Eigenschaften von Integralen, konjugierte Zahlen, zentroaffine Eigenschaften ebener Kurven). B. Phasentheorie der genannten Gleichungen (Polarkoordinaten der Basen, Polarfunktionen, lokale und Randeigenschaften der Phasen, algebraische Struktur der Phasenmenge oszillatorischer Differentialgleichungen usw., also die methodische Grundlage der zu entwickelnden Transformationstheorie).
II. Dispersionstheorie: A. Zentraldispersionen (Z.D.) B. Spezielle Probleme (z. B. Differentialgleichungen mit denselben Z.D. 1. Art, mit zusammenfallenden Z.D. \(k\)-ter und \((k+1)\)-ter Art, usw.). C. Allgemeine Dispersionen (unter Zugrundelegung zweier oszillatorischer Differentialgleichungen (q) \(y''= q(t)y\), \(a<t<b\), und (Q) \(\ddot Y = Q(T)Y\), \(A<T<B)\).
III. Allgemeine Transformationstheorie: A. Allgemeine Transformationen (Transformationseigenschaften der Lösungen der von Kummer angegebenen nichtlinearen Differentialgleichung (Qq) dritter Ordnung für die Transformierende der Differentialgleichungen (q), (Q)m, sowie Existenz- und Eindeutigkeitsfragen bei (Qq), physikalische Anwendungen auf geradlinige und harmonische Bewegungen). B. Vollständige Transformationen (Existenz und Allgemeinheit der vollständigen Transformationen, Struktur der Menge vollständiger Lösun-gen von (Qq)).
Die Darstellung ist klar und leicht lesbar und erfordert keine besonderen Vorkenntnisse. Auf historische Zusammenhänge und geometrische Motivierungen wird Wert gelegt. Alles in allem hat man damit eine abgerundete und wohlausgewogene Neuerscheinung, die sehr begrüßenswert ist.

MSC:
34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations
34A25 Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc.