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On the addition of residue classes mod \(p\). (English) Zbl 0156.04801

Sei \(p\) eine Primzahl und seien \(a_1,\ldots,a_k\) modulo \(p\) paarweise inkongruente Zahlen. Für eine ganze Zahl \(N\) bezeichne \(F(N)=F(N;p;a_1,\ldots,a_k)\) die Anzahl der verschiedenen Lösungen der Kongruenz \(e_1a_1+\ldots +e_ka_k \equiv N\pmod p\), wobei jedes \(e_i\) auf die Werte 0 und 1 beschränkt sei. Die Verff. beweisen folgende zwei Sätze:
Satz 1. \(F(N)>0\) für \(k\geq 3\sqrt {6p}\).
Satz 2. \(F(N)=2^kp^{-1} (1+o(1))\) für \(k^3p^{-2} \to \infty\) bei \(p\to \infty\).
Beispiele zeigen, daß Satz 1 nicht wesentlich verschärft werden kann und Satz 2 sogar bestmöglich ist. Satz 1 wird durch elementare Rechnungen mit Restklassen modulo \(p\) bewiesen, während für den Beweis von Satz 2 trigonometrische Summen und einfache Tatsachen aus der Theorie der diophantischen Approximationen herangezogen werden.
Reviewer: O. Körner

MSC:

11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11D79 Congruences in many variables
11L03 Trigonometric and exponential sums (general theory)
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