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Introduction of topological exercises to Landau singularities. (Introduction à l’étude topologique des singularités de Landau.) (French) Zbl 0157.27503

Paris: Gauthier-Villars Editeur 1967. 141 p. (1967).
Author’s review: Ce livre aborde les problèmes matématiques sous-jacents à l’étude des singularités des intégrales de Feynman en Physique Théorie – “Singularités de Landau” comme les appellent les physiciens. Il s’agit des singularités de fonctions analytiques définies par des intégrales, dont le cycle d’intégration est pris dans un famille analytique des variétés complexes, et dont l’intégrand est à support singulier analytique: sujet très semblable à celui étudié plus récemment par P. A. Griffiths [Some results on moduli and periods on algebraic manifolds (manuscrit)], mais traité ici de façon purement topologique, sous outils algébriques.
Les outils principaux sont le théorème d’isotopie de Thom (Chap. IV) qui permet d’étudier le lieu singulier de l’intégrale, et la théorie des résidus de Leray (Chap. III) qui, à partir des théorèmes de Picard-Lefschetz sur la ramification de l’homologie (Chap. V) permet l’étude du type de singularité de l’intégrale: cette étude est ici faite en détail dans le cas où les singularités de l’intégrand sont de type polaire et portées par des variétés en position générale [Chap. VI, qui s’inspire des chapitres 8 et 9 de J. Leray, Bull. Soc. Math. Fr. 87, 81–180 (1959; Zbl 0199.41203)]; le cas où l’intégrand de d’autres types de singularités (logarithmiques, etc.) est envisagé sommairement au chapitre VII, tout au moins en ce qui concerne le problème de la ramification de l’homologie.
Les deux premier chapitres rappellent les notions générales bien connues (variétés, homologie des variétés) nécessaires à la compréhension du reste.
Reviewer: P. Pham

MSC:

32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
32S30 Deformations of complex singularities; vanishing cycles
14B07 Deformations of singularities

Citations:

Zbl 0199.41203