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Topology. Vol. I. New edition, revised and augmented. (English) Zbl 0158.40802
New York-London: Academic Press; Warszawa: PWN-Polish Scientific Publishers. XX, 560 p. (1966).
Seit dem ersten Erscheinen des Kuratowskischen 2-bändigen Werkes zur allgemeinen Topologie sind inzwischen über 30 Jahre vergangen [Topologie. I. Espaces metrisables, espaces complets. (Monogr. mat. 3) Warszawa, Lwow: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. IX, 285 S. (1933; Zbl 0008.13202; JFM 59.0563.02); II: Monografie Matematyczne T. XXI. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu. VIII, 444 p. (1950; Zbl 0041.09604)]. In dieser verflossenen Zeit hat sich das Buch in dem gesamten Schrifttum zur allgemeinen Topologie einen hervorragenden (wenn nicht gar überhaupt den hervorragendsten) Platz gesichert. Mit der jetzt vorliegenden englischen und russischen Fassung wird das Standardwerk, bisher in französischer Sprache, seinen weltweiten Einfluß noch erheblich vergrößern, indem es nun auch der jüngeren Generation bequem zugänglich ist und seine Funktion als Lehr- und Handbuch in breiteren Kreisen ausüben kann. Die Neufassung des ersten Bandes betrifft keineswegs nur die Sprache, vielmehr wird dein modernen Trend in der Entwicklung der topologischen Forschung Rechnung getragen. Das geschieht aber nicht so sehr in der Weise, daß die neueren Dinge stets ausführlich dargestellt werden, sondern durch eine Reihe von Hinweisen skizziert der Verf. den weiteren Verlauf. Durch dieses Verfahren sind die Vorzüge des ursprünglichen Kuratowskischen Buches sämtlich erhalten geblieben, nämlich eine Darstellung zu liefern, die im wesentlichen einen elementaren Charakter hat, die das Eigentliche an den Dingen hervortreten läßt und die angestrebte Allgemeinheit der Natur der Sache anpaßt. Der Gesamtaufbau des ersten Bandes gliedert sich in 3 Hauptabschnitte, die den Grundbegriffen der topologischen Räume, der metrischen Räume und der vollständigen Räume gewidmet sind. Vorausgeht diesen Kapiteln eine Einführung in die elementaren Begriffsbildungen der Mengenlehre und mathematischen Logik, abgeschlossen wird der Textteil des Buches mit einer kurzen Skizze von A. Mostowski über einige Anwendungen der Topologie auf Fragen der mathematischen Logik (z. B. topologische Beweise des Gödelschen Vollständigkeitstheorems und des Löwenheim Skolemschen Modelltheorems) sowie einigen Hinweisen von R. Sikorski auf Anwendungen der Topologie in der Funktionalanalysis.
Eine knappe Aufzählung der im Hauptteil behandelten Gegenstände mag einen ungefähren Eindruck von diesem reichhaltigen Buch verschaffen. Topologische Räume (150 Seiten): Die Abschließungsoperation (Kuratowskische Hüllenaxiome), abgeschlossene und offene Mengen. Begrenzung und Inneres von Mengen. Umgebungen. Dichte und nirgendsdichte Mengen. Häufungspunkte. Magere Mengen. Bairesche Eigenschaft. Stetigkeit und Homöomorphie. Vollständig reguläre und normale Räume. Produkträume. Raum der abgeschlossenen Mengen. Halbstetige Abbildungen und Quotientenräume.
Metrische Räume (216 Seiten): Konvergenzklassen. Allgemeine Begriffsbildungen für metrische Räume (hierbei werden auch die uniformen Räume und Nachbarschaftsräume gestreift). Separable Räume. Mächtigkeitsfragen. Dimensionsproblexnatik, insbesondere Anfänge der Polyedertopologie. Zusammenhänge der metrischen Topologie mit der deskriptiven Mengenlehre und Theorie der reellen Funktionen.
Vollständige Räume (127 Seiten): Grundlegende Begriffe, Cauchyfolgen und Vervollständigung. Bairesches Theorem. Fortsetzung von Funktionen. Zusammenhänge der vollständigen Räume mit dem Raum der Irrationalzahlen. Fortführung der deskriptiven Mengenlehre in Verbindung mit vollständigen Räumen.

Keywords:
topology