\(K\)-theory. Lecture notes by D. W. Anderson. Fall 1964. With reprints of M. F. Atiyah: Power operations in \(K\)-theory; \(K\)-theory and reality. (English) Zbl 0159.53302

Atiyah, Michael F.

New York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc. 166 p. (1967).

Die \(K\)-Theorie hat in den letzten Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen und ist in Anbetracht der vielen Anwendungen auch für Nicht-Topologen interessant geworden. Daher ist es sehr zu begrüßen, daß nunmehr ein Buch über die \(K\)-Theorie vorliegt, welches nur ein Minimum an mathematischen Kenntnissen voraussetzt und damit einem großen Leserkreis den Zugang zu dieser Theorie ermöglicht. Vom Leser wird allerdings erwartet, daß er an einigen Stellen die Beweise genauer ausführt. Da nur elementare Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie und der Algebra vorausgesetzt werden, müssen natürlich einige Aspekte der \(K\)-Theorie unberücksichtigt bleiben, z.B. Beziehungen zur Darstellungstheorie von Gruppen, der Chern-Charakter und spektrale Sequenzen. Trotzdem enthält das Buch eine Reihe tieferliegender Resultate, so den Bottsehen Periodizitätssatz, den Thom-Isomorphismus, einen Satz über die Hopfsche Invariante und einige Eigenschaften der Gruppen \(J(X)\). Am Schluß des Buches vermißt man Hinweise auf diejenigen Arbeiten, die in den letzten Jahren im Zusammenhang mit der \(K\)-Theorie publiziert worden sind.
Es folgt nun eine kurze Inhaitsangabe der drei Kapitel des Buches. In Kapitel I werden die wichtigsten Begriffe und Sätze aus der Theorie der (komplexen) Vektorraumbündel behandelt: Homomorphismen zwischen Vektorraumbündeln, algebraische Operationen, Teil- und Quotientenbündel, spaltende exakte Sequenzen, Existenz eines Negativs und der Klassifikationssatz.
Der Inhalt von Kapitel II: Definition des \(K\)-Funktors, der Bottsche Periodizitätssatz, die exakte Cohomologiesequenz, Berechnung von \(K^*(X)\) für gewisse \(X\), Darstellung von \(K(X,A)\) durch Komplexe von Vektorraumbündeln, der Thom-Isomorphismus, eine Künnethformel.
Kapitel III behandelt Operationen in der \(K\)-Theorie und die Gruppen \(J(X)\) der stabilen Faser-Homotopie-Klassen von Vektorraumbündeln über \(X\). Als Anwendung wird ein Satz über die Hopfsche Invariante bewiesen und die Frage untersucht, wann \(S^{2n}\) Retrakt von \(P_{n+k}(C)/P_{n-1}(C)\) ist. Außerdem wird die rationale Cohomologie mit Hilfe der \(K\)-Theorie definiert.
In einem Anhang findet man schließlich einen Zusammenhang zwischen der \(K\)-Theorie und den Fredholm-Operatoren eines separablen komplexen Hilbert-Raumes.
Dem Buch sind die Nachdrucke von zwei Arbeiten beigefügt, die von Atiyah bereits an anderer Stelle publiziert worden sind [vgl. Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 17, 165–193 (1966; Zbl 0144.44901) and 367–386 (1966; Zbl 0146.19101)].

Reviewer: Rolf Kultze

MSC:

55-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic topology
19-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to \(K\)-theory
19Lxx	Topological \(K\)-theory
19L20	\(J\)-homomorphism, Adams operations
55R50	Stable classes of vector space bundles in algebraic topology and relations to \(K\)-theory

Keywords:

vector bundles; G-bundles over G-spaces; \(K\)-theory; periodicity theorem; cohomology properties; Thom isomorphism; operations; Adams operations; group J(X); space of Fredholm operators

Citations:

Zbl 0144.44901; Zbl 0146.19101