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\(K\)-theory. Lecture notes by D. W. Anderson. Translation from the English by V. M. Bukhshtaber, V. N. Reshetnikov und D. B. Fuks. Edited by A. A. Kirillov. (Лекции по \(К\)-теории.) (Russian) Zbl 0159.53401

Biblioteka Sbornika “Matematika”. Moskva: Izdat. ’Mir’. 260 p. (1967).
Dieser Band enthält in russischer Übersetzung neben den im Titel angegebenen Lectures weitere Arbeiten des ersten Verf. und anderer Autoren (vgl. die vorstehende Besprechung des englischen Originals Zbl 0159.53302): M. F. Atiyah and G. B. Segal, Equivalent \(K\)-theory (Lecture Notes, Oxford 1965 - wird hier besprochen). M. F. Atiyah, Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 17, 367–386 (1966; Zbl 0146.19101); Topology 4, 95–99 (1965; Zbl 0136.21001); N. H. Kuiper, Topology 3, 19–30 (1965; Zbl 0129.38901).
Zum Unterschied zur englischen Ausgabe enthält das Buch die Arbeit von N. H. Kuiper und die letzte der oben angegebenen Arbeiten von Atiyah, sowie die Ausarbeitung der Vorlesungen von Atiyah und Segal. Es enthält dieser Band nicht (im Gegensatz zum englischen Original) eine Arbeit von Atiyah über Operationen. In der Ausarbeitung von Atiyah und Segal wird die \(K_2\)-Theorie in sieben Vorträgen abgehandelt, die zum Teil von dem einen, zum Teil vom anderen Verf. stammen. Im ersten Vortrag wird der Begriff des \(K_2\) Funktors erklärt und einige einfache Eigenschaften bewiesen, z.B. unter welchen Umständen er mit \(K(X)\) isomorph ist. Hierbei ist \(G\) noch eine beliebige topologische Gruppe. Im zweiten Vortrag werden alle möglichen Eigenschaften des Funktors \(K_2(\cdot)\) bewiesen oder ohne Beweis angegeben, wie z.B. der Periodizitätssatz mit einigen Folgerungen. Auch die Erweiterung von \(K_2\) auf lokal kompaktes \(X\) wird erklärt. Im dritten Vortrag wird gezeigt (mit Hilfe einer Spektralfolge), daß \(K_2(X)\) für eine kompakte differenzierbare \(G\)-Mannigfaltigkeit ein endlicher \(R(G)\)-Modul ist. In den weiteren Teilen werden schwierigere Fragen über den Index, den Thomschen Isomorphismus und Ganzzahligkeitssätze untersucht.

MSC:

55-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic topology
19-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to \(K\)-theory
19Lxx Topological \(K\)-theory
19L20 \(J\)-homomorphism, Adams operations
55R50 Stable classes of vector space bundles in algebraic topology and relations to \(K\)-theory

Keywords:

\(K\)-theory