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On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. (English) Zbl 0173.48501
Das Hauptergebnis ist der folgende Satz: Die Zetafunktion \(\zeta(V,t)\) einer algebraischen Mannigfaltigkeit \(V\) über einem endlichen Körper \(k\) ist eine rationale Funktion von \(t\) (Vermutung von Weil). \(\zeta(V,t)\) ist durch \[ \zeta(V,t)=\exp[\sum_{i=1}^\infty N_it^i/i]~(1) \] definiert, wo \(N_i\) die Anzahl der Punkte von \(V\) bedeutet, die Koordinaten in der Erweiterung \(i\)-ten Grades \(k_i\) von \(k\) haben. \(V\) mag eine affine, projektive oder allgemeiner eine abstrakte Mannigfaltigkeit im Sinne von Weil sein, \(V\) darf auch reduzibel und singularitätenbehaftet sein. Durch naheliegende kombinatorische Überlegungen wird der Beweis auf den Fall zurückgeführt, dass \(V\) die Differenz einer Hyperfläche \(f(x_1,\cdots,x_n)=0\) im \(n\)-dimensionalen affinen Raume über \(k\) und der reduziblen Hyperfläche \(\prod_{i=1}^nx_i=0\) ist, so dass also \(N_i\) die Anzahl der Lösungen \(x_1,\cdots,x_n\) von \(f(x_1,\cdots,x_n)=0\) mit \(x\in k_i{}^\times\) (Multiplikativgruppe von \(k_i\)) ist. Mit irgend einem nichttrivialen Charakter \(\Theta\) der Additivgruppe von \(k_i\) gilt \[ q^iN_i=(q^i-1)^n+\sum_{x_\nu\in k_i;\nu=0,1,\cdots,n}\Theta(x_0f(x_1,\cdots,x_n)), (2) \] wo \(q=p^a\) die Elementezahl von \(k\) sei, \(p\) die Charakteristik von \(k\). Dies wird in die \(p\)-adische Approximationsformel \[ q^iN_i=(q^i-1)^n+\sum_{\xi_\nu\in T_i;\nu=0,1,\cdots,n}\prod_{j=0}^{i-1}F_r(\xi_0{}^{q^j},\cdots,\xi_n{}^{q^j})\ \text{mod}\,p^r,r=1,2,3,\cdots,~(3) \] übergeführt, \(F_r(X_0,\cdots,X_n)\) ist ein Polynom mit ganzen Koeffizienten in dem Körper \(\Omega\), der vollständigen und algebraisch abgeschlossenen Hülle des Körpers \(\mathbb{Q}_p\) der rationalen \(p\)-adischen Zahlen und \(T_i\) ist die Gruppe der \((q^i-1)\)-ten Einheitswurzeln in \(\Omega\). Diese Umformung verläuft folgendermaßen: \(\xi\rightarrow x\) sei der Isomorphismus von \(k_i{}^\times\) auf \(T_i\), der \(\xi\) seine Restklasse \(x\) nach dem maximalen Ideal zuordnet, order umgekehrt: \(\xi=\xi(x)\) ist der multiplikative (Teichmüller-) Repräsentant von \(x\) in \(\Omega\). Ist \(\zeta\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel und ist \(L_i\) die unverzweigte Erweiterung \(i\)-ten Grades von \(\mathbb{Q}_p\), so ist \(\Theta(x)=\zeta^{\text{Spur}_{L_i/\mathbb{Q}_p}(\xi(x))}\) ein nichtrivialer Charakter von \(k_i{}^+\). Für diesen wird eine Aufspaltung \(\Theta(x)=\prod_{j=0}^{i-1}\theta(\xi(x)^{p^j})\) hergeleitet, in der \(\theta(t)=\sum_{m=0}^\infty\beta_mt^m\) eine Potenzreihe bedeutet, deren Koeffizienten \(\beta_m\) (aus \(\Omega\)) die Abschätzung \(|\beta_m|\leq|p|^{m/(p-1)}\) erfüllen (\(|\ |\) bedeutet den Betrag im bewerteten Körper \(\Omega\)). Wird dies noch dem Körper \(k\) durch Einführung von \(\Lambda(t)=\prod_{j=0}^{a-1}\theta(t^{p^j})=\sum_{m=0}^\infty\lambda_mt^m\) angepasst – es gilt wieder (4) \(|\lambda_m|\leq|p|^{m/(p-1)}\) – so folgt aus (2) \[ q^iN_i=(q^i-1)^n+\sum_{\xi_\mu\in T_i}\prod_{\nu=1}^\rho\prod_{j=0}^{i-1}\Lambda(A_\nu M_\nu\xi_\mu{}^{q^j}) \] wenn \(X_0F(X_1,\cdots,X_n)=\sum_{\nu=1}^\rho A_\nu M_\nu\) mit \(A_\nu\in k\), \(M_\nu\) Potenzprodukt der \(X_\mu\) ist. Da die \(\Lambda(A_\nu M_\nu{}^{q^j})\) keine Polynome sind, ist es nötig \(\sum_{m=0}^{r(q-1)}\lambda_mt^m=\Lambda_r(t)\) gesetzt, für \(=1,2,\cdots\), Polynome (5) \(F_r(X)=\sum_r\Lambda_r(A_\nu M_\nu)\) einzuführen, mit diesen gilt dann (beachte (4)) die Formel (3). Für die Summe rechts in (3) hat man nun nach des Verfassers Arbeit einen Ausdruck als Spur einer linearen Transformation des Polynomrings \(\Omega[X]\) in sich \[ \sum_{\xi_\nu\in T_i;\nu=0,1,\cdots,n}\prod_{j=0}^{i-1}F_r(\xi_0{}^{q^j},\cdots,\xi_n{}^{q^j})=(q^i-1)^{n+1}\ \text{Spur}\,(\psi\circ F_r)^i.\] Ähnlich wie [loc. cit.] schließt man jetzt auf die Existenz des Grenzwertes (6) \(\lim_{r\rightarrow\infty}\det(I-t\psi\circ F_r)=\Delta(t)\), dabei ist die Konvergenz – im Potenzreihenring \(\Omega\{t\}\) – koeffizientenweise \(p\)-adisch gemeint; weiter, dass (7) \(\zeta(V,qt)=(1-t)^{-(-\delta)^n}\Delta(t)^{-(-\delta)^{n+1}}\) gilt, wo \(\delta\) den loc. cit. erklärten (in der eben erwähnten Topologie) topologischen Automorphismus der multiplikativen Gruppe \(1+t\Omega\{t\}\) bedeutet. Man kann nun die Koeffizienten von \(\det(I-t\psi\circ F_r)\) aus der Definition (5) von \(F_r\) berechnen und dann, dank der Abschätzung (4), zeigen, dass für die Koeffizienten von \(\det(I-t\psi\circ F_r)=\sum_{m=0}^\infty\gamma_{r,m}t^m\) eine Abschätzung \(|\gamma_{r,m}|^{1/m}\leq\varepsilon_m\); \(r=1,2\cdots\), mit \(\lim_m\varepsilon_m=0\) gilt. Für \(\Delta(t)=\sum_{m=0}^\infty\gamma_mt^m\) folgt \(|\gamma_m|^{1/m}\leq\varepsilon_m\), und also ist \(\Delta(t)\) (in \(\Omega\)) beständig konvergent; (7) ergibt, dass \(\zeta(V,t)\ p\)-adisch meromorph (Quotient von zwei beständig konvergenten Potenzreihen in \(\Omega\) ist.
Bemerkt man nun noch, dass \(\zeta(V,t)\) zufolge der Definition (1) eine Potenzreihe mit ganzen rationalen Koeffizienten ist, so folgt die Rationalität von \(\zeta(V,t)\) mit Hilfe des auch an sich interessanten Kriteriums: Eine Potenzreihe \(F(t)=\sum_{i=0}^\infty A_it^i\) mit Koeffizienten \(A_i\) aus einem endlichen algebraischen Zahlkörper \(L\) ist genau dann rational, wenn die Menge der Primstellen \(\mathfrak p\) von \(L\) so in eine endliche Menge \(S\) und ihr Komplement \(S'\) eingeteilt werden kann, dass (i) \(|A_i|_{\mathfrak p}\leq 1\), \(i=0,1,2,\cdots\), gilt für \(\mathfrak p\in S'\); (ii) \(F(t)\) als Funktion einer \(\mathfrak p\)-adischen Variabeln \(\tau_{\mathfrak p}\) in \(\Omega_{\mathfrak p}\) (der algebraisch abgeschlossenen und \(\mathfrak p\)-adisch vollständigen Hülle von \(L\)) in einem Kreise \(|\tau_{\mathfrak p}|_{\mathfrak p\leq}R_{\mathfrak p}\) meromorph (d.h. Quotient zweier dort konvergenter Potenzreihen) ist, und es gilt \(\prod_{\mathfrak p\in S}R_{\mathfrak p>1}\). Die \(\mathfrak p\)-Beträge sind dabei so normiert zu denken, dass für \(A\neq 0\) aus \(L\) die Produktformel \(\prod_{\mathfrak p}|A|_{\mathfrak p}=1\) gilt. Der Beweis beruht auf dem klassischen Kriterium für die Rationalität einer Potenzreihe \(\sum_{i=0}^\infty A_it^i\) mit Koeffizienten aus einem Körper (von É. Borel): Genau dann ist \(F(t)\) rational, wenn es ein \(m=1,2,\cdots\) und ein \(i_0=1,2,\cdots\), gibt, so dass die Hankelschen Determinanten \(N_{i,m}=\det (A_{i+j+1})_{j,1=0,\cdots,m}\) null sind für \(i\geq i_0\). Es wird übrigens nur der einfachste Fall \(L=\mathbb{Q}\) und \(S=\{p,p_\infty\}\) dieses Kriteriums gebraucht. Zum Schluss wird noch auf die loc. cit. nur unter der Annahme der Rationalität von \(\zeta(V,t)\) bewiesenen Aussagen hingewiesen.
Die Aufspaltung des additiven Charakters \(\Theta\) mittels der gut konvergenten Potenzreihe \(\theta\), die ein wesentliches Hilfsmittel des Beweises bildet, ist, wie der Verfasser bemerkt, keinesweges die einzig mögliche und es wird angedeutet, wie man sie auch auf anderem Wege gewinnen kann; ferner wird bemerkt, dass die genannte Aufspaltung auch für die Theorie der Gaußschen Summen nützlich ist, es wird eine Kongruenz von L. Stickelberger [Math. Ann. 37, 321–367 (1890; JFM 22.0100.01)] mit ihrer Hilfe hergeleitet.

MSC:
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
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